TRIGONOMETRI DENGAN RUMUS ALJABAR - Kikiholmes

Dalam penerapan trigonometri, terkadang memerlukan konsep dari materi lain. Beberapa konsep yang sering digunakan dalam trigonometri adalah aljabar.

Penerapan aljabar akan berujung pada pemfaktoran dan menentukan pembuat nol dari trigonometri yang diketahui. Nah, untuk tahu apa saja rumus-rumus aljabar yang biasa digunakan dalam trigonometri, langsung saja cek di bawah ini. Metode-metode berikut ini sering digunakan sebagai penyelesaian ketika menghadapi soal olimpiade.

Rumus-Rumus Aljabar Dalam Trigonometri

• $\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab$
• $\left(a-b\right)^2=a^2-b^2+2ab$
• $\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
• $\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-3abc$
• $a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab$
• $a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2$
• $a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)$
• $a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)^3-3a^2b^2\left(a^2+b^2\right)$
• $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$
• $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$
• Jika $\frac{p}{q}=\frac{a}{b}$ maka bisa dibuktikan $\frac{p-q}{p+q}=\frac{a-b}{a+b}$ dan $\frac{p+q}{p-q}=\frac{a+b}{a-b}$
• Jika $a, b$ bilangan real positif, maka
  $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ atau $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
  $\frac{a^2+b^2}{2}\geq ab$ atau $a^2+b^2\geq 2ab$
  $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
  $a+\frac{1}{a}\geq 2$

Langsung saja kita lihat contoh soal dan penerapan rumus aljabar di bawah ini. Kamu juga bisa melihat video pembahasan yang sudah saya sertakan.

1. Hitunglah $\small \begin{align*} 2\left(\sin^6x+\cos^6x\right)-3\left(\sin^4x+\cos^4x\right)+1 \end{align*}$


$$\small \begin{align*} &\text{Rumus yang dipakai:}\\ &\boxed{\sin^2 x+\cos^2 x=1}\\ & \boxed{a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)^3-3a^2b^2\left(a^2+b^2\right)}\\ \\ &=2\left[\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^3-3\sin^2x \cos^2x \left(\sin^2x +\cos^2 x\right) \right]-3\left[\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2-2\sin^2 x \cos^2x\right]+1\\ &=2\left[1-3 \sin^2 x \cos^2 x\right]-3\left[1-2\sin^2 x \cos^2x \right]+1\\ &=2-6\sin^2 x\cos^22x - 3+6\sin^2x \cos^2x +1\\ &=0 \end{align*}$$





2. Hitunglah $\small 3\left(\sin x-\cos x\right)^4+6\left(\sin x+\cos x\right)^2+4\left(\sin^6 x+\cos^6 x\right)$


$$ \small \begin{align*} &=3\left(\sin^2 x +\cos^2 x-2\sin x\cos x \right)^2+6 \left( \sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x \right)+4 \left[ \left(\sin^2 x+ \cos^2 x \right)^3-3\sin^2 x\cos^2 x\left(\sin^2 + \cos^2 x\right) \right]\\ &=3\left[\left(1-2\sin x\cos x\right)^2\right]+6\left(1+2\sin x\cos x\right)+4\left[1-3sin^2x\cos^2x\right]\\ &=3\left(1-4\sin x\cos x+4\sin^2x \cos^2x\right)+6+12\sin x\cos x+4-12\sin^2x\cos^2x\\ &=13 \end{align*}$$




3. Buktikan $\small \left(\dfrac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin x+\cos x}\right)^2=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$

$$\small \begin{align*} &=\left(\dfrac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin x+\cos x}\right)^2\\ &=\left[\left(\dfrac{\left(1+\sin x\right)-\cos x}{\left(1+\sin x\right)+\cos x}\right)\left(\dfrac{\left(1+\sin x\right)-\cos x}{\left(1+\sin x\right)-\cos x}\right)\right]^2\\ &=\left[\left(\dfrac{\left(1+\sin x\right)^2+\cos^2x-2\cos x\left(1+\sin x\right)}{\left(1+\sin x\right)^2-\cos^2x}\right)\right]^2\\\ &=\left[\dfrac{2+2\sin x-2\cos x\left(1+\sin x\right)}{1+2\sin x+\sin^2 x-\cos^2x}\right]^2\\ &=\left[\dfrac{2\left(1+\sin x\right)-2\cos x\left(1+\sin x\right)}{1+2\sin x+\sin^2 x-\left(1-\sin^2x\right)}\right]^2\\ &=\left[\dfrac{2\left(1-\cos x\right)\left(1+\sin x\right)}{2\sin x\left(1+\sin x\right)}\right]^2\\ &=\left(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\right)^2\\ &=\dfrac{\left(1-\cos x\right)^2}{\sin^2x}\\ &=\dfrac{\left(1-\cos x\right)^2}{1-\cos^2x}\\ &=\dfrac{\left(1-\cos x\right)^2}{\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)}\\ &=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} \\ \\ \\ \text{cara lain}\\ &=\left[\dfrac{\left(1+\sin x\right)-\cos x}{\left(1+\sin x\right)+\cos x}\right]^2\\ &=\dfrac{\left(1+\sin x\right)^2+\cos^2x-2\cos x\left(1+\sin x\right)}{\left(1+\sin x\right)^2+\cos^2 x+2 \cos x \left(1+\sin x\right)}\\ &=\dfrac{2+2\sin x-2\cos x\left(1+\sin x\right)}{2+2\sin x+2\cos x\left(1+\sin x\right)}\\ &=\dfrac{2\left(1-\cos x\right)\left(1+\sin x\right)}{2\left(1+\cos x\right)\left(1+\sin x\right)}\\ &=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} \end{align*}$$




4. Jika $\small \tan x+\sin x=m$ dan $\tan x-\sin x=n$, tunjukkan bahwa $m^2-n^2=4\sqrt{mn}$


$$\small \begin{align*} m^2-n^2 &=\left(\tan x+\sin x\right)^2-\left(\tan x-\sin x\right)^2\\ &=\tan^2x+2\tan x\sin x+\sin^2 x -\left(\tan^2x -2\tan x \sin x+ \sin^2x \right)\\ &=\tan^2x+2\tan x \sin x+\sin^2x-\tan^2 x+2 \tan^2x \sin x-\sin^2x\\ &=\tan^2x-\tan^2x+ \sin^2x-\sin^2x +2 \tan x \sin x+2 \tan x \sin x\\ &=4\tan x\sin x\\ &=4\sqrt{\tan^2x \sin^2x} \ \ \ \ \ \boxed{\text{Gunakan }\sin^2x+ \cos^2=1}\\ &=4\sqrt{\tan^2x \left(1-cos^2x\right)}\\ &=4\sqrt{\tan^2x- \sin^2x}\\ &=4\sqrt{\left(\tan x+ \sin x \right)\left(\tan x- \sin x\right)}\\ &=4\sqrt{mn} \end{align*}$$




5. Jika $\small a\cos x-b\sin x=c$, tunjukkan bahwa
   $a\sin x+b \cos x=\pm \sqrt{a^2+b^2-c^2}$


$$ \small \begin{align*} &\left(a\cos x-b\sin x\right)^2=c^2\ \ \ \ \ \ \ \boxed{\text{kuadratkan kedua ruas}}\\ & a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2x-2ab\cos x\sin x=c^2\cdots \cdots \left(1\right)\\ \\ \\ &\text{Misalkan } a\sin x+b \cos x=p, \text{ maka }\\ &\left(a\sin x+b\cos x\right)^2=p^2\ \ \ \ \ \ \boxed{\text{kuadratkan kedua ruas }}\\ & a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2x+2ab\cos x\sin x=p^2\cdots \cdots \left(2\right)\\ \\ \\ &\text{Jumlahkan (1) dan (2)}\\ & a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2x-2ab\cos x\sin x+a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2x+2ab\cos x\sin x=c^2+p^2\\ & a^2 \cos^2x+a^2 \sin^2x+b^2\sin^2x+b^2\sin^2x=c^2+p^2\\ & a^2\left(\cos^2x+\sin^2x\right)+b^2\left(\sin^2x+\cos^2x\right)=c^2+p^2\ \ \ \ \boxed{\text{Gunakan }\sin^2x+\cos^2x=1}\\ & a^2+b^2 =c^2+p^2\\ & a^2+b^2-c^2=p^2\\ & p=\pm \sqrt{a^2+b^2-c^2} \end{align*}$$

Demikian tadi rumus aljabar dalam terigonometri untuk menyelesaikan soal-soal olimpiade. Soal dan penyelesaian pada artikel ini akan saya update lagi. Jadi, ditunggu saja ya.

Related Posts