SOAL SBMPTN TURUNAN DAN PEMBAHASAN - Kikiholmes

Soal SBMPTN UTBK Turunan dan pembahasannya.

Soal materi UTBK-SBMPTN yang setiap tahun keluar adalah Turunan. Materi turunan ini erat kaitannya dengan nilai maksimum minimum suatu grafik, juga menentukan gradien. Baik itu grafik aljabar ataupun trigonometri.

Langsung saja menuju ringkasan materi dan contoh soal serta pembahasannya di bawah ini. Soal soal akan terus saya update. Jad, semangat belajar.

A. Rumus Turunan Fungsi

1. $f\left(x\right)=ax^n \rightarrow f'\left(x\right)=n\cdot a\cdot x^{n-1}$
2. $f\left(x\right)=c \rightarrow f'\left(x\right)=0$
3. $f\left(x\right)=ku \rightarrow f'\left(x\right)=k\cdot u'$
4. $f\left(x\right)=u\pm v\rightarrow f'\left(x\right)=u' \pm v'$
5. $f\left(x\right)=u\cdot v\rightarrow f'\left(x\right)=u'v+uv'$
6. $f\left(x\right)=\dfrac{u}{v}\rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
7. $f\left(x\right)=f\left(u\right)\rightarrow f'\left(x\right)=f'\left(u\right)\cdot u'$
8. $f\left(x\right)=\left(g\circ h\right)\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$
   $ \rightarrow f'\left(x\right)=g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)$
9. $f\left(x\right)=e^x\rightarrow f'\left(x\right)=e^x$
10. $f\left(x\right)=ln\ x\rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}$

B. Turunan Fungsi Trigonometri

1. $f\left(x\right)=\sin x\rightarrow f'\left(x\right)=\cos x$
2. $f\left(x\right)=\cos x\rightarrow f'\left(x\right)=-\sin x$
3. $f\left(x\right)=\tan x\rightarrow f'\left(x\right)=\sec^2 x$
4. $f\left(x\right)=\cot x\rightarrow f'\left(x\right)=-\csc^2 x$
5. $f\left(x\right)=\sec x\rightarrow f'\left(x\right)=\sec x \tan x$
6. $f\left(x\right)=\csc x\rightarrow f'\left(x\right)=-\csc x\cot x$

C. Aplikasi Turunan

1. Persamaan Garis Singgung
Rumus persamaan garis singgung suatu kurva di titik $\left(x_1,y_1\right)$ adalah
$\left(y-y_1\right)=m\left(x-x_1\right)$


2. Fungsi Naik Turun
Fungsi dikatakan naik jika $f'\left(x\right)>0$.
Fungsi dikatakan turun jika $f'\left(x\right)<0$
Fungsi mencapai titik stasioner jika $f'\left(x\right)=0$


3. Nilai Stasioner
Suatu fungsi mencapai nilai stasioner saat $f'\left(x\right)=0$. Jenis nilai stasioner:

1. Nilai minimum $f''\left(x\right)>0$
2. Nilai maksimum $f''\left(x\right)<0$
3. Titik belok $f''\left(x\right)=0$

---

Berikut ini adalah soal-soal Turunan tipe SBMPTN. Soal akan terus saya update. jadi tungguin saja.

1. Turunan pertama dari fungsi
   $\displaystyle y=\tfrac{\sin x}{\sin x+ \cos x}$
   adalah...
   
   [SPMB 2006/Dasar/12]

   1. $\displaystyle -\tfrac{1}{1+2\sin x\cos x}$
   2. $\displaystyle \tfrac{1}{1+2\sin x\cos x}$
   3. $\displaystyle \tfrac{-\sin x}{1+\sin x\cos x}$
   4. $\displaystyle \tfrac{\sin x}{1+\sin x\cos x}$
   5. $\displaystyle -\tfrac{\sin^2 x}{1+\sin x\cos x}$
JAWABAN B

$$\begin{align*} \boxed{y=\dfrac{U}{V}\rightarrow \dfrac{U'V-UV'}{V^2}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{\sin^x +\cos^x=1}\\ \\ y&=\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\\ \text{Misalkan: }\\ U&=\sin x\ \ \rightarrow U'=\cos x\\ V&=\sin x+\cos x\ \ \rightarrow V'=\cos x-\sin x\\ y'&=\dfrac{\cos x\left(\sin x+\cos x\right)-\left(\cos x-\sin x\right)\sin x}{\left(\sin x+\cos x\right)^2}\\ y'&=\dfrac{\cos x\sin x+\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x}{\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x}\\ y'&=\dfrac{1}{1+2\sin x\cos x} \end{align*}$$





2. Grafik fungsi $y=x^4-4x$ turun untuk $x$ yang memenuhi...
   
   [SPMB 2006/Dasar/13]

   1. $x<0$
   2. $0
   3. $x>1$
   4. $x<1$
   5. $x<0$ atau $x>1$
JAWABAN D


Syarat $f$ turun adalah $y<0$, maka
$y'=4x^3-4<0$
$x^3-1<0$
$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)<0$
Karena $\left(x^2+x+1\right)$ definit positif, atau tidak memiliki akar maka kita cukup mencari
$\left(x-1\right)<0$
$x<1$




3. Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya 25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk yang lain adalah...
   
   [SNMPTN 2009 Matematika IPA]

   1. 90
   2. 85
   3. 80
   4. 75
   5. 50
JAWABAN E

Misalkan
Panjang = $p$
Lebar = $l$
Tinggi = $25$

Jumlah semua rusuk = $500$
$4\left(p+l+25\right)=500$
$p+l=100$
$l=100-p$

$V=25pl$
$V=25p\left(100-p\right)$
$V=2500p-25p^2$

Syarat volume maksimum
$V'=0$
$V'=2500-50p=0$
$p=50$
$l=50$




4. Jumlah nilai terbesar dan terkecil dari
   $$y=\dfrac{x^2+14x+9}{x^2+2x+3}$$
   untuk setiap nilai $x$ real adalah...
   
   [Mat-IPA SIMAK UI 2010]

   1. -3
   2. -2
   3. -1
   4. 1
   5. 2
JAWABAN C

$$\begin{align*} y=\dfrac{x^2+14x+9}{x^2+2x+3}\\ x^2y+2xy+3y=x^2+14x+9\\ \left(y-1\right)x^2+\left(2y-14\right)x+\left(3y-9\right)\\ \\ D&=0\\ b^2-4ac&=0\\ \left(2y-14\right)^2-4\left(y-1\right)\left(3y-9\right)&=0\\ \left(4y^2-56y+196\right)-\left(12y^2-48y+36\right)&=0\\\ -8y^2-8y+160&=0\\ y^2+y-20&=0\\ \left(y+5\right)\ \left(y-4\right)&=0\\ y_{kecil}=-5 \ dan\ y_{besar}&=4 \\ \\ \text{Jadi, }-5+4&=-1 \end{align*}$$




5. Diketahui $\displaystyle \sqrt{\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x+1}}=2^{y-3}$, maka nilai maksimum dari $3xy+6x-3$ adalah...
   [SIMAK UI 2009]

   1. 0
   2. $\frac{15}{8}$
   3. $\frac{21}{6}$
   4. $\frac{25}{8}$
   5. 5
JAWABAN D

Berbagai rumus yang digunakan
1. $\displaystyle \boxed{\dfrac{1}{a^m}=a^{-m}}$
2. $\displaystyle \boxed{\left(a^m\right)^{p+q}=a^{mp+mq}}$
3. $\displaystyle \boxed{\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}}$

Langkah pertama, kita mencari nilai $\small x$ dengan cara menyelesaikan persamaan soal.
$$\small \begin{align*} & \sqrt{\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x+1}}=2^{y-3}\ \ \ \ \Leftarrow \text{Ubah 8 menjadi }2^3\\ & \sqrt{\left(\dfrac{1}{2^3}\right)^{x+1}}=2^{y-3}\ \ \ \ \Leftarrow \text{Gunakan rumus 1}\\ & \sqrt{\left(2^{-3}\right)^{x+1}}=2^{y-3}\ \ \ \ \Leftarrow \text{Gunakan rumus 2}\\ & \sqrt{2^{-3x-3}}=2^{y-3}\ \ \ \ \ \Leftarrow \text{Gunakan rumus 3}\\ & 2^{\dfrac{-3x-3}{2}}=2^{y-3}\\ & -3x-3=2y-6\\ & -3x=2y-6+3\\ & -3x=2y-3\\ & x=\dfrac{2y-3}{-3}\\ & x=\dfrac{3-2y}{3}\\ \\ \\ & \Rightarrow \text{Misal}\\ & P=3xy+6x-3\\ & P=3\left(\dfrac{3-2y}{3}\right)y+6\left(\dfrac{3-2y}{3}\right)-3\\ & P=\left(3-2y\right)y+2\left(3-2y\right)-3\\ & P=3y-2y^2+6-4y-3\\ & P=-2y^2-y+3\\ \\ \\ & \text{agar P maksimum, maka } P'=0\\ & P=-2y^2-y+3\\ & P'=0\\ & -4y-1=0\\ & y=-\dfrac{1}{4}\\ \\ & \text{dan nilai }x,\\ & x=\dfrac{3-2y}{3}\\ & x=\dfrac{3-2\left(-\dfrac{1}{4}\right)}{3}\\ & x=\dfrac{3+\left(\dfrac{1}{2}\right)}{3}\\ & x=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{3}\\ & x=\dfrac{7}{2}\times \dfrac{1}{3}\\ & x=\dfrac{7}{6}\\ \\ \\ & \text{Jadi, nilai maksimumnya }\\ & P=3xy+6x-3\\ & P=3\left(\dfrac{7}{6}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)+6\left(\dfrac{7}{6}\right)-3\\ & P=-\dfrac{21}{24}+7-3\\ & P=-\dfrac{7}{8}+4\\ & P= \dfrac{25}{8} \end{align*}$$




6. Nilai maksimum dari fungsi
   $\displaystyle y=4 \sin x \sin \left(x-60^o\right)$
   dicapai pada saat nilai $\small x\cdots$
   
   [Mat IPA SIMAK UI 2009]

   1. $\displaystyle x=30^o=k\cdot 180^o$ dengan $k$ bilangan bulat
   2. $\displaystyle x=60^o=k\cdot 180^o$ dengan $k$ bilangan bulat
   3. $\displaystyle x=90^o=k\cdot 180^o$ dengan $k$ bilangan bulat
   4. $\displaystyle x=120^o=k\cdot 180^o$ dengan $k$ bilangan bulat
   5. $\displaystyle x=150^o=k\cdot 180^o$ dengan $k$ bilangan bulat
JAWABAN D

Coba kamu amati soal di atas. Disana terdapat perkalian dua suku, yaitu $\small 4\sin x$ dan $\small \sin\left(x-60^o\right)$. Jika terdapat perkalian dua suku pada soal turunan, maka kita menggunakan rumus $\small U$ dan $\small V$. Masih inget gak? Ada di materi di atas, sub A nomor 5. Kita tulis lagi saja jika kamu malas scroll ke atas.

$$\boxed{f\left(x\right)=U\cdot V \text{ menjadi } f'\left(x\right)=U'\cdot V+U\cdot V'}$$

Lanjutkan,
$\small U=4\sin x$
$\small U'=4\cos x\ \ \ \Leftarrow$ turunan $\small \sin$ adalah $\small \cos$

$\small V=\sin\left(x-60^o\right)$
$\small V'=\cos \left(x-60^o\right)$

Nilai maksimum $\small y$ akan tercapai saat $\small y'=0$
$$\small \begin{align*} & y'=0\\ & U'\cdot V+U\cdot V'=0\\ & 4\cos x \cdot \sin\left(x-60^o\right)+ 4\sin x \cdot \cos \left(x-60^o\right)=0\\ & 4\left\{\cos x \cdot \sin\left(x-60^o\right)+ \sin x \cdot \cos \left(x-60^o\right)\right\}=0\\ & \cos x \cdot \sin\left(x-60^o\right)+ \sin x \cdot \cos \left(x-60^o\right)=\dfrac{0}{4}\\ & \cos x \cdot \sin\left(x-60^o\right)+ \sin x \cdot \cos \left(x-60^o\right)=0\\ & \sin x \cdot \cos \left(x-60^o\right) + \cos x \cdot \sin\left(x-60^o\right)=0\ \ \ \ \Leftarrow \text{dibalik}\\ \\ \\ & \text{Rumus trigonometri yang digunakan: }\\ & \boxed{\sin \left(\alpha +\beta\right)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}\\ \\ & \text{Gunakan rumus tersebut }\\ & \sin \left(\alpha +\beta\right)=\sin \alpha \cos beta + \cos alpha \sin \beta\\ & \sin x \cdot \cos \left(x-60^o\right) + \cos x \cdot \sin\left(x-60^o\right)=0\\ & \sin \left(x+\left(x-60^o\right)\right)=0\\ & \sin \left(2x-6o^o\right)=0\\ \end{align*}$$ Selanjutnya,
• $\small \sin \left(2x-6o^o\right)=0$
  $\small \sin \left(2x-6o^o\right)=\sin 0^o$
  $\small 2x-60^o =0+k\cdot 2\pi \rightarrow x=30^o+k\cdot \pi \text{ atau }$
  $\small 2x-60^o=\left(\pi -0\right)+k\cdot 2\pi$
  $\small \rightarrow x=120^o+k\cdot \pi$
• $\small \sin \left(2x-6o^o\right)=\sin 180^o$
  $\small 2x-60^o =180^o+k\cdot 2\pi \rightarrow x=120^o+k\cdot \pi \text{ atau }$
  $\small 2x-60^o =\left(\pi -180^o\right)+k\cdot 2\pi$
  $\small \rightarrow x=30^o+k\cdot \pi$
Jika digambarkan ke dalam bentuk daerah penyelesaian, maka akan menjadi seperti ini


Bisa kamu lihat, bahwa kurva akan naik atau maksimum di nilai $\small x=120^o$

Demikian tadi materi, rumus, soal-soal Turunan SBMPTN, dan pembahasan. Mudah-mudahan dengan mempelajari dari website bimbelan.com dapat mempermudah kamu dalam memahami materi pelajaran. Semoga apa yang kamu cita-citakan dapat tercapai tahun ini.

Semoga juga kamu dapat diterima di universitas ternama yang kamu idam-idamkan.

Kunjungi soal-soal SBMPTN kami lainnya disini. Jika ingin request materi, silahkan ketik di kolom komentar.

Related Posts