SOAL SBMPTN BARISAN DAN DERET DAN PEMBAHASANNYA - Kikiholmes

Photo by Ashishan kujur on Unsplash

Masih ingatkah kamu, di kelas XI dulu pernah mempelajari materi Barisan dan Deret? Bab pertama di semester genap.
Pada materi Barisan dan Deret, terdapat dua buah subbab yaitu Aritmatika dan Geometri

A. Barisan dan Deret

1. Barisan
Barisan adalah himpunan bilangan-bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Barisan suku ke-1 sampai suku ke-n dapat dituliskan
$$\boxed{U_1,\ U_2,\ U_3,\cdots ,\ U_{n-1},\ U_n}$$
2. Deret
Deret adalah penjumlahan dari suatu barisan yang berurutan. Secara umum dapat dituliskan:
$$\boxed{U_1+U_2+U_3+\cdots+U_{n-1}+U_n=\sum ^n_{i=1}U_i}$$
3. Hubungan Antara Barisan dan Deret
$$\boxed{U_n=S_n-S_{n-1}}$$

B. Barisan dan Deret Aritmatika

1. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang selisih/beda antara dua suku yang berurutan selalu sama.
$$\boxed{b=U_n-U_{n-1}}$$

Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah
$$\boxed{U_n=a+\left(n-1\right)b}$$
dengan:
$S_n$ = suku ke-n
$a$= suku pertama
$b$=beda


2. Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama dari deret aritmatika, dirumuskan dengan:
$$\boxed{S_n=\dfrac{n}{2}\left(a+U_n\right)=\dfrac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right)}$$


3. Suku Tengah
Suku tengah dari suatu barisan dapat dirumuskan sebagai berikut:
$$\boxed{U_t=\dfrac{a+U_n}{2}}$$
dengan $U_n$ merupakan suku terakhir dari suatu barisan.


4. Rata-Rata Aritmatika
Jika $\displaystyle \bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$, maka
$\displaystyle \bar{x_n}=x_1+x_2+\cdots+x_n$, sehingga
$$\boxed{nU_{\bar{x}}=U_{x_1}+U_{x_2}+\cdots+U_{x_n}}$$


5. Sisipan
Jika antara dua suku disisipkan m bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka


	BA Lama	BA Baru
Suku Pertama	a	a
Suku Terakhir	k	k
Banyaknya suku	n	$n'=n+\left(n-1\right)m$
Beda	b	$b'=\dfrac{b}{m+1}$
Jumlah Suku	$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{S_n}{S'_n}=\dfrac{n}{n'}$$




6. Memisalkan Bilangan yang Membentuk Aritmatika
1. Jika banyak bilangan ganjil, dimisalkan beda =q
• 3 bilangan $\Rightarrow \left(p-q\right), p, \left(p+q\right)$
• 5 bilangan$\Rightarrow \left(p-2q\right), \left(p-q\right), p, \left(p+q\right), \left(pq\right)$
• dan seterusnya
2. Jika banyak bilangan genap, dimisalkan beda= 2q/li>
   • 4 bilangan $\Rightarrow \left(p-3q\right), \left(p-3\right), \left(p+q\right), \left(p+3q\right)$
   • 6 bilangan $\Rightarrow \left(p-5q\right),\left(p-3q\right), \left(p-3\right), \left(p+q\right), \left(p+3q\right), \left(p+5q\right)$
   • dan seterusnya
3. Jika bilangan tidak diketahui
• Dimisalkan saja dengan $a, \left(a+b\right), \left(a+2b\right), \left(a+3b\right)$

1. Jika $a, 2, b, c, d, e, 27$ adalah deret aritmatika, maka $a+c+e=\cdot$
   
   [SPMK UB Mat 2014]

   1. 13
   2. 16
   3. 31
   4. 33
   5. 36
JAWABAN C

$$\small \begin{align*}\text{rumus suku ke n barisan aritmatika}\\ \boxed{U_n=a+\left(n-1 \right )b}\\ \text{a = suku pertama dan b = beda}\\ \text{pada soal ini, beda (b) diganti dengan k, agar tidak sama dengan soal}\\ a, 2, b,c,d,e,27\rightarrow \ barisan\ aritmatika\\ \bullet\ U_2=2\\ a+\left(2-1 \right )k=2\\ a+k=2&\cdots\cdots\left(1 \right )\\ \\ \bullet\ U_7=27\\ a+\left(7-1 \right )k=27\\ a+6k=27&\cdots\cdots\left(2 \right ) \\ \\ \text{Eliminasi persamaan (1) dan (2)}\\ \text{maka diperoleh}\\ a=-3 \text{dan }k=5\\ \\ \text{selanjutnya menggunakan rumus suku tengah}\\ \boxed{U_t=\frac{a+U_n}{2}} \bullet\ U_t=\dfrac{a+U_n}{2}\\ c=\dfrac{a+27}{2}\\ 2c=-3+27\\ 2c=24\\ c=\dfrac{24}{2}\\ c=12\\ \\ \bullet\ e=U_6\\ e=a+\left(n-1 \right )k\\ e=a+5k\\ e=-3+5\left(5 \right )\\ e=22 \\ \text{Jadi, }a+c+e=-3+12+22\\ =31 \end{align*}$$






2. Diketahui perbandingan suku pertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmatika adalah $2:3$. Perbandingan suku pertama dan suku kedua barisan tersebut adalah...
   
   [SAINTEK SBMPTN 2015]

   1. 1:1
   2. 2:5
   3. 3:5
   4. 4:5
   5. 5:4
JAWABAN D

$$\small \begin{align*} \bullet\ \ \ U_1:U_2\rightarrow \dfrac{U_1}{U_3}&=\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{a}{a+2b}&=\dfrac{2}{3}\\ 3a&=2\left(a+2b \right )\\ 3a&=2a+4b\\ a&=4b\\ \\ \bullet\ \ \ U_1:U_2\\ a:a+b\\ 4b:\left(4b+b \right )\\ 4b:5b\\ 4:5\\ \\ \text{Jadi, }U_1:U_2=4:5 \end{align*}$$




3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan beda $k+1$ untuk k negatif dan suku pertama adalah $k^2$. Jika suku ketujuh adalah 33, maka suku kesepuluh barisan tersebut adalah...
   
   [TKDU SBMPTN 2015]

   1. $-9$
   2. $-3$
   3. 9
   4. 36
   5. 45
JAWABAN C

$$\small \begin{align*} \Leftrightarrow U_7&=33\\ a+6b&=33\\ k^2+6\left(k+1 \right )&=33\\ k^2+6k+6&=33\\ k^2+6k-27&=0\\ \left(k+9 \right )\left(k-3 \right )&=0\\ k=-9 \text{ atau }k&=3\\ \text{Nilai k yang memenuhi adalah }k&=-9\\ \\ \Leftrightarrow U_{10}&=a+9b\\ &=k^2+9\left(k+1 \right )\\ &=\left(-9 \right )^2+9\left(-9+1 \right )\\ &=81+9\left(-8 \right )\\ &=9\\ \\ \text{Jadi, suku kesepuluh adalah 9} \end{align*}$$





4. Diketahui a, b, dan c berturut-turut adalah suku ke 2, ke 4, dan ke 6 barisan aritmatika. Jika $\displaystyle \frac{a+b+c}{b+1}=4$, maka nilai $b$ adalah...
   
   [TKDU SBMPTN 2013]

   1. $-4$
   2. $-2$
   3. 1
   4. 2
   5. 4
JAWABAN A

$$\small \begin{align*} \text{Ingat kembali rumus suku tengah }\\ \boxed{U_t=\dfrac{a+U_n}{2}}&&\boxed{U_n= \ suku\ terakhir\ } \\ \\ \text{maka, } b&=\dfrac{a+c}{2}\\ 2b&=a+c\\ \\ \text{Sehingga, }\\ \dfrac{a+b+c}{b+1}&=4\\ \dfrac{\left(a+c \right )+b}{b+1}&=4\\ \frac{2b+b}{b+1}&=4\\ 3b&=4b+4\\ b&=-4 \end{align*}$$





5. Bilangan $\displaystyle ^y\log\left ( x-1 \right ),\ ^y\log\left( x+1 \right),\ ^y\log\left(3x-1\right)$ merupakan tiga suku deret aritmatika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6, maka $x+y=\cdots$
   
   [SPMB 2006/Dasar/25]

   1. 2
   2. 3
   3. 4
   4. 5
   5. 6
JAWABAN D

$\displaystyle ^y\log\left ( x-1 \right ),\ ^y\log\left( x+1 \right),\ ^y\log\left(3x-1\right)$ merupakan tiga suku deret aritmatika yang berurutan, maka
$$^y\log\left ( x-1 \right )+^y\log\left( x+1 \right)+^y\log\left(3x-1\right)=6$$ Rumus yang dipakai adalah rumus suku tengah
$$\boxed{U_t=\dfrac{a+U_n}{2}}$$ $$\small \begin{align*} U_t&=\dfrac{a+U_n}{2}\\ U_2&=\dfrac{U_1+U_3}{2}\\ 2\cdot U_2&=U_1+U_2\\ 2\left(^y\log\left(x+1\right)\right)&=^y\log\left(x-1\right)+^y\log\left(3x-1\right)\\ ^y\log\left(x+1\right)^2&=^y\log\left(x-1\right)\left(3-1\right)\\ \left(x+1\right)^2&=\left(x-1\right)\left(3-1\right)\\ x^2+2x+1&=3x^2-4x+1\\ 2x^2-6x&=0\\ x&=3\\ \\ \\ \text{Menentukan nilai y} ^y\log\left(x-1\right)+^y\log\left(x+1\right)+^y\log\left(3x-1\right)&=6\\ ^y\log 2+^y\log 4+^y\log &=6\\ ^y\log\left(2\cdot 4 \cdot 8 \right)&=6\\ ^y\log 64&=6 \ \ \Leftrightarrow y^6=64\\ y&=2 \end{align*}$$
Maka diperoleh
$$x+y$$
$$3+2=5$$





6. Dari barisan $u_1,\ u_2,\ u_3,...$ Diketahui $u_1=2x+1,\ u_2=-x+21,$ dan $u_3=5x+14$. Jika $u_n-u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$ untuk $n=1,\ 2,\ 3,...$ maka $u_3+u_5+u_7=\cdots$
   
   [SPMB 2007/Dasar/13]

   1. 57
   2. 153
   3. 162
   4. 163
   5. 164
JAWABAN B

Karena $u_n-u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$, artinya barisan memiliki beda yang sama tiap dua suku berurutan.
Maka $u_1,\ u_2,\ u_3,\ ...$ adalah barisan aritmatika. Coba kalian ambil n=3, maka rumus $u_n-u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$ akan menjadi $u_3-u_2=u_4-u_3$.

Oke, lanjut ke penyelesaian
Rumus yang dipakai adalah rumus suku tengah, yaitu
$$\boxed{U_t=\dfrac{a+U_n}{2}}$$ \begin{align*} U_t&=\dfrac{a+U_n}{2}\\ 2\cdot u_2&=u_1+u_3\\ 2\left(-x+21\right)&=\left(2x+1 \right)+\left(5x+14\right)\\ -2x+42&=7x=15\\ 9x&=27\\ x&=3\\ \\ u_1=2x+1\ \ \ \ u_2=-x+21 \ \ \ \ u_3=5x+14\\ u_1=2\cdot 3+1\ \ \ \ u_2=-3+21 \ \ \ \ u_3=5\cdot 3+14\\ u_1=7 \ \ \ \ u_2=18 \ \ \ \ u_3=29\\ \text{beda }=18-7=11\\ \\ u_5=u_3+2b=29+2\left(11\right)=51\\ u_7=u_5+2b=51+2\left(11\right)=73\\ \\ \\ \text{Jadi }u_3+u_5+u_7&=29+51+73\\ &=153 \end{align*}





7. Jika $$s=1+\dfrac{1}{2}\sin 2x +\dfrac{1}{4}\sin^2 2x + \dfrac{1}{8}\sin^3 2x+\cdots$$,
   maka...
   
   SBMPTN 2014/TKPA/601/15]

   1. $\frac{2}{3}< s< 2$
   2. $\frac{3}{2}< s< 2$
   3. $\frac{2}{3}< s< \frac{3}{2}$
   4. $\frac{1}{2}< s< \frac{3}{2}$
   5. $\frac{1}{2}< s< \frac{2}{3}$
JAWABAN A

Dari $$\begin{align*}s=1+\dfrac{1}{2}\sin 2x +\dfrac{1}{4}\sin^2 2x + \dfrac{1}{8}\sin^3 2x+\cdots\\ r&=\dfrac{U_n}{U_{n-1}}\\ r&=\dfrac{\tfrac{1}{2}\sin2x}{1}\\ \text{diperoleh }r=\frac{1}{2}\sin2x \end{align*}$$
Deret tak hingga rumusnya $$\boxed{S=\dfrac{a}{1-r}}$$
$$S=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{2}\sin2x}$$ $$\boxed{ingat -1<\sin 2x<1}$$ Ingat untuk nilai trigonometri $\sin$, nilai minimum adalah $-1$ dan maksimum $1$,
Untuk $\sin 2x=-1$ diperoleh
$$\small \begin{align*}S&=\dfrac{a}{1-r}\\ S&=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{2}\cdot \left(-1\right)} \\ S&=\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{2}}\\ S&=\dfrac{2}{3} \end{align*}$$
Untuk $\sin 2x=1$ diperoleh
$$\small \begin{align*}S&=\dfrac{a}{1-r}\\ S&=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{2}\cdot \left(1\right)} \\ S&=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{2}}\\ S&=2 \end{align*}$$

Jadi, $\frac{2}{3}< s< 2$




8. Jika 240, 228, 216, ... adalah barisan aritmatika, maka suku bernilai kurang dari 12 yang muncul pertama kali adalah suku ke...
   
   [SNMPTN 2012/Dasar/724/9]

   1. 19
   2. 20
   3. 21
   4. 22
   5. 23
JAWABAN C

240, 228, 216, ... adalah barisan aritmatika.

$$\small \begin{align*} a=240 \text{dan } b=-12\\ U_n<12\\ a+\left(n-1 \right) b<12\\ 240 + \left(n-1\right)\left(-12\right)<12\\ 240-12n+12<12\\ -12n<-240\\ \text{kedua ruas dikali -1 dan tanda dibalik}\\ 12n>240\\ n>20 \Rightarrow n=21 \end{align*}$$




9. Jika perbandingan sukupertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmatika adalah $1:3$, maka perbandingan suku kedua dan suku keempat dari barisan tersebut adalah...
   
   [SBMPTN 2015/TKPA/605/47]

   1. 1:4
   2. 1:3
   3. 1:2
   4. 2:3
   5. 2:5
JAWABAN C

$$\small \begin{align*} \dfrac{U_1}{U_3}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{a}{a+2b}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow a=b\\ \\ \dfrac{U_2}{U_4}&=\dfrac{a+b}{a+3b}\\ \dfrac{U_2}{U_4}&=\dfrac{b+b}{b+3b}\\ \dfrac{U_2}{U_4}&=\dfrac{2b}{3b}\\ \dfrac{U_2}{U_4}&=\dfrac{2}{4}\\ \dfrac{U_2}{U_4}&=\dfrac{1}{2} \end {align*}$$




10. Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $\frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}$ maka $\frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}=\cdots$
    
    [SBMPTN 2016/SAINTEK/226/09]

    1. $\frac{10}{9}$
    2. 3
    3. $\frac{10}{3}$
    4. 4
    5. 10
JAWABAN C

$$\small \begin{align*} \dfrac{U_1+U_2}{U_3+U_4}&=\frac{1}{9}\\ \dfrac{a+ar}{ar^2+ar^3}&=\dfrac{1}{9}\\ \dfrac{a+ar}{\left(a+ar\right)r^2}&=\dfrac{1}{9}\\ \dfrac{1}{r^2}&=\dfrac{1}{9}\\ r&=3\\ \\ \\ \dfrac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}&=\dfrac{a+ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2}\\ &=\dfrac{a\left(1+r+r^2+r^3\right)}{a\left(r+r^2\right)}\\ &=\dfrac{1+3+9+27}{3+9}\\ &=\dfrac{40}{12}\\ &=\dfrac{10}{3} \end{align*}$$

Related Posts