RUMUS DAN SOAL SBMPTN PERSAMAAN KUADRAT SERTA PEMBAHASAN - Kikiholmes

Photo by Becca Tapert on Unsplash

Sudah sejauh manakah kamu dalam mempelajari soal-soal tipe SBMPTN Persamaan Kuadrat? Atau jangan-jangan kamu masih kesulitan dalam pemfaktoran, hehe.

Materi persamaan kuadrat hampir selalu muncul di setiap bab, mulai dari SMP, SMA, hingga perkuliahan. Tentunya kamu harus selalu menguasai persamaan kuadrat. Setiap tahun juga soal persamaan kuadrat selalu muncul baik di SBMPTN, SBMPN, Ujian Mandiri, dan sebagainya.

Nah, karena pentingnya materi ini maka kami sajikan pada artikel kali ini, kumpulan rumus, soal, dan pembahasan. Soal-soal yang kami pilih juga merupakan level SBMPTN. Tenang saja, jangan khawatir. Kamu pasti bisa.

Langsung saja scroll ke bawah untuk mulai belajar.

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat:
$\displaystyle \boxed{ax^2+bx+c=0}$

Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan:

1. Metode Faktorisasi
2. Metode melengkapkan kuadrat sempurna
3. Rumus abc
$\displaystyle \boxed{x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

B. Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan $\small x_1\ \ x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan D>0, maka:
$\displaystyle \boxed{x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}}$ atau $\ \boxed{x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$.

Sebagai akibat dari rumus tersebut, maka diperoleh:

1. Jumlah akar
$\displaystyle \boxed{x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}}$


2. Hasil kali akar
$\displaystyle \boxed{x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}}$


3. Selisih akar
$\displaystyle \boxed{\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{D}{\left|a\right|}}$

C. Rumus Akar Lainnya

• Jumlah Kuadrat
$\displaystyle \boxed{x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(x_1\times x_2\right)}$


• Selisih Kuadrat
$\displaystyle \boxed{x_1^2-x_2^2=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}$


• Kuadrat Selisih
$\displaystyle \boxed{\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1\cdot x_2}$


• Jumlah Pangkat Tiga
$\displaystyle \boxed{x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1\cdot x_2\right)\left(x_1+x_2\right)}$


• Selisih Pangkat Tiga
$\displaystyle \boxed{x_1^3-x_2^3=\left(x_1-x_2\right)^3-3\left(x_1\cdot x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}$


• Jumlah Kebalikan
$\displaystyle \boxed{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x-1+x_2}{x_1\cdot x_2}}$

D. Jenis-Jenis Akar

1. Dilihat dari diskriminannya $\displaystyle D=b^2-4ac$, akar-akar persamaan kuadrat dibagi menjadi 3, yaitu:
1. $D\geq 0$ berarti memiliki akar real
2. $D>0$ berarti memiliki 2 akar real
3. $D=0$ berarti memiliki satu akar real [kembar]
4. $D<0$ berarti tidak memiliki akar real [imajiner]
5. $D=k^2$ berarti memiliki 2 akar rasional



2. Bentuk Perluasan untuk Akar-Akar Real
1. Kedua Akar Berkebalikan $\displaystyle \left(x_1=\dfrac{1}{x_2}\right)$
• $D \geq 0$
• $x_1\cdot x_2=1$


2. Kedua Akar Berlawanan
• $D>0$
• $x_1+x_2=0$


3. Kedua Akar Positif $\displaystyle x_1>0\ \ x_2>0$
• $D\geq 0$
• $x_1+x_2>0$
• $x_1\cdot x_2>0$


4. Kedua Akar Negatif $\displaystyle x_1$ dan $\displaystyle x_2<0$
• $D\geq 0$
• $x_1+x_2<0$
• $x_1\cdot x_2>0$


5. Akar yang Satu Positif dan yang Lain Negatif [Berlainan Tanda]
• $D>0$
• $x_1\cdot x_2<0$


6. Kedua Akar Lebih Besar dari Bilangan Konstan p
• $D\geq0$
• $\left(x_1-p\right)+\left(x_2-p\right)>0$
• $\left(x_1-p\right)\left(x_2-p\right)>0$


7. Kedua Akar Lebih Kecil dari Bilangan Konstan p
• $D\geq0$
• $\left(x_1-p\right)+\left(x_2-p\right)\leq 0$
• $\left(x_1-p\right)\left(x_2-p\right)\geq 0$

E. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, maka persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dapat dicari sebagai berikut:

1. Menggunakan Rumus
$\displaystyle \boxed{x^2-\left( \alpha + \beta \right)x+\alpha\beta=0}$


2. Mensubstitusikan invers akar-akar yang baru ke persamaan semula

---

Untuk menguji pemahaman kamu terhadap materi, coba kerjakan soal-soal SBMPTN berikut ini.

1. Persamaan kuadrat $x^2-\left(3-^2\log m\right)x-^2\log 16m=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1x_2^2+x_1^2x_2=-6$, maka $^m\log 8=...$
   
   [Mat-Das UM UGM 2013]

   1. $-1$ atau $\frac{3}{2}$
   2. $\frac{1}{9}$ atau 8
   3. $\frac{1}{16}$ atau 8
   4. $\frac{1}{8}$ atau 4
   5. 4 atau 8
JAWABAN D

$\small \displaystyle x^2-\left(3-^2\log m\right)x-^2\log 16m=0$ memiliki akar $x_1$ dan $x_2$
maka $$x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left( -\left(3-^2\log m \right) \right)}{1}=3-^2\log m$$
$$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}=\dfrac{\left( -^2\log 16m \right)}{1}=-^2\log 16m$$ $$\small \begin{align*} x_1x_2^2+x_1^2x_2 &=-6\\ x_1x_2\left(x-2+x_1\right) &=-6\\ \left(-^2\log 16m\right)\left(3-^2\log m\right)&=6\\ \\ Misalkan\ ^m\log m=p, \left(4+p\right)\left(3-p\right)&=6\\ 12-p-p^2 &=6\\ p^2+p-6 &=0\\ \left(p+3\right)\left(p-2\right)&=0\\ p=-3\ atau\ p&=2\\ \\ untuk\ p &=-3 p &=-3\\ ^2\log m&=-3\\ m&=\dfrac{1}{8}\\ \\ untuk\ p &=2\\ p m&=2\\ ^2\log m&=2\\ m&=4 \end{align*}$$




2. Akar-akar positif dari persamaan kuadrat $x^2+mx+n=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $2\beta-\alpha=12$ dan $\alpha^2=4\beta$, maka $m+n=\cdots$
   
   [Mat-IPA Simak UI 2012]

   1. -39
   2. -16
   3. 0
   4. 16
   5. 39
JAWABAN E

$$ \begin{align*} & 2\beta-\alpha =12\\ & \alpha =2\beta -12\\ \\ & \text{kita mulai dari sini }\ \alpha^2 = 4\beta\\ & \left(2\beta - 12\right)^2 = 4\beta\\ & 4\beta^2 -48\beta +144 =4\beta\\ & 4\beta^2-52\beta+144 =0\\ & \text{kedua ruas dibagi dengan } 4\\ &\beta^2-13\beta+36 =0\\ & \left(\beta-9\right)\left(\beta-4\right)=0\\ &\beta_1=9\ atau\ \beta_2 =4\\ \\ & \text{ Substitusi nilai 9 dan 4 masing-masing ke }\alpha=2\beta-12\\ &\alpha_1 = 2\times 9-12 =6\\ &\alpha_2 = 2\times 4-12 =-4\\ \\ \\ & \text{Ingat kembali rumus jumlah dua akar} \rightarrow \boxed{\alpha+\beta =-\dfrac{b}{a}}\\ & \text{dari soal diketahui }x^2+mx+n=0, \text{maka } a =1,\ \ b=m,\ \ c=n. \\ &\left(\alpha_1 +\beta_1 \right) =-\dfrac{m}{1} \\ &\left(9+6\right) =-m\\ & -15 =m\\ \\ & \left(\alpha_2 +\beta_2 \right) =-\dfrac{m}{1} \\ & \left(4+\left(-4 \right) \right) =-m\\ & 0 =m \left(tidak\ memenuhi\ karena\ akarnya\ harus\ positif\right)\\ \\ \\ & \text{Ingat kembali rumus hasil kali dua akar} \rightarrow \boxed{\alpha\cdot \beta=\dfrac{c}{a}}\\ &\left(\alpha_1 \cdot \beta_1 \right) = \dfrac{n}{1}\\ & \left(9\times 6\right) =54\\ \\ & maka,\ nilai\ m=-15\ dan\ n=54\\ & m+n =39 \end{align*}$$




3. Jika semua akar $x^2-99x+p =0$ merupakan bilangan prima, maka nilai $p$ adalah...
   
   [TKDU SBMPTN 2015]

   1. 100
   2. 194
   3. 198
   4. 288
   5. 380
JAWABAN B

Misalkan akar persamaan kuadrat
$x^2-99x + p =0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka:
$\bullet \ \alpha + \beta =-\frac{b}{a} 99$
$\bullet \ \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}=p$

jumlah kedua bilangan prima = 99 adalah bilangan ganjil, maka kita ambil bilangan satu genap dan satu lainnya ganjil. Salah satu bilangan prima yang genap adalah 2, sehingga bilangan yang lain adalah

$99-2=97$

Jadi, $p=\alpha \cdot \beta=2\cdot 97=194$




4. Misalkan $x^2+b_1x+c_1x=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dengan $\left(\alpha - \beta \right)^2=4$. Jika $x^2+b_2x+c_2x=0$ mempunyai akar-akar $\alpha -\beta$ dan $\alpha +\beta$, maka rasio $c_2:b_1$ yang mungkin adalah...
   
   Mat-IPA Simak UI 2013]

   1. 2:1
   2. 1:2
   3. 1:1
   4. 1:3
   5. 3:1
JAWABAN A

$$\begin{align*} x^2+b_1x+c_1=0\ \left\{\begin{matrix} \alpha\\ \beta \end{matrix}\right.\\ \\ \left(\alpha -\beta\right)^2 &=4\\ \left(\dfrac{\sqrt{D}}{a}\right)^2&=4\\ \dfrac{D}{1}&=4\\ D&=4\\ \\ Jumlah\ akar\ &= -\dfrac{b_1}{a}\\ \alpha +\beta &= -\dfrac{b_1}{1}\\ \alpha +\beta &= -b_1 \\ \\ x^2+b_2x+c_2=0\ \left\{\begin{matrix} \alpha +\beta\\ \alpha -\beta\\ \end{matrix}\right.\\ \left(\alpha +\beta\right)\left(\alpha -\beta\right)&=\dfrac{c}{a}\\ \left(-b_1\right)\left(\sqrt{D}\right)&=\dfrac{c_2}{1}\\ -b\left(-2\right) &=c_2\\ 2b_1=c_2\\ Jadi,\ c_2:b_1 &= 2:1 \end{align*}$$ Lihat, $\boxed{\sqrt{D} = \sqrt{4}=2\ atau\ -2}$
Dipilih -2, kenapa?
Agar hasilnya menjadi positif ketika dikalikan dengan $-b_1 $




5. Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $\left(m-1\right)^2-\left(m \pm2\right)x-1=0$, maka $\log\left(1+\left(1-\alpha \right)\beta +a\right)$ ada nilainya untuk...
   
   SAINTEK SBMPTN 2014]

   1. m > -1
   2. m < 1
   3. -1 < m < 1
   4. m < -1 atau m > 1
   5. m < $-\frac{2}{3}$ atau m > $\frac{2}{3}$
JAWABAN D

$$\begin{align*} \alpha + \beta &=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha + \beta &=-\dfrac{m+2}{m-1}\\ \\ \alpha \cdot \beta &=\dfrac{c}{a}\\ \alpha \cdot \beta &=-\dfrac{1}{m-1}\\ 1+\left(1-\alpha \right)\beta +\alpha >0\\ 2+\dfrac{1}{m+1}+\dfrac{m+2}{m-1}>0\\ \dfrac{2m-2+1+m+2}{m-1}>0\\ \dfrac{3m+1}{m-1}>0\\ Jadi,\ m<-1\ atau\ m>1 \end{align*}$$




6. Jika $\alpha +2\beta=5$ dan $\alpha \beta =-2$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\frac{\alpha}{\alpha +1}$ dan $\frac{2\beta}{2\beta +1}$ adalah...
   
   [Mat-Das UM UGM 2013]

   1. $x^2-\frac{7}{2}x-1=0$
   2. $x^2+\frac{7}{2}x+2=0$
   3. $x^2+\frac{7}{2}x-3=0$
   4. $2x^2+3x+4=0$
   5. $2x^2+3x-4=0$
JAWABAN E

$$\begin{align*} Rumus\ yang\ digunakan\ \\ \boxed{x_1 +x_2 =-\frac{b}{a}}\\ \boxed{x_1 \cdot x_2 =\frac{c}{a}}\\ \\ \\ Jumlah\ Akar\\ &= x_1+x_2\\ &= \dfrac{\alpha}{\alpha +1}+\dfrac{2\beta}{2\beta +1}\\ &= \dfrac{\alpha \left(2\beta +1\right)+2\beta \left(\alpha +1\right)}{\left(\alpha +1\right)\left(2\beta +1\right)}\\ &= \dfrac{2\alpha \beta +\alpha+2\alpha \beta +2\beta}{2\alpha \beta +\alpha +2\beta +1}\\ &= \dfrac{4\alpha \beta+\left(\alpha +2\beta\right)}{2\alpha \beta +\left(\alpha +2\beta\right)+1}\\ &= \dfrac{4\left(-2 \right)+5}{2\left(-2\right)+5+1}\\ &= \dfrac{-3}{2}\\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} \\ Hasil\ kali\ akar\\ &= \dfrac{\alpha}{\alpha +1}\cdot {2\beta}{2\beta +1}\\ &= \dfrac{2\alpha \beta}{2\alpha \beta +\left(\alpha +2\beta\right)+1}\\ &= \dfrac{2\left(-2\right)}{2\left(-2 \right)+5+1}\\ &=-2\\ \\ \\ Persamaan\ kuadrat\ baru\\yang\ terbentuk:\\ x^2-\left(JA\right)x+KA=0\\ x^2-\left(-\dfrac{3}{2}\right)x-2=0\\ 2x^2+3x-4=0 \end{align*}$$




7. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-x-3=0$, maka persamaan kuadrat yang kar-akarnya $x_1^2+x_2^2$ dan $2x_1+2x_2$ adalah...
   
   [TKDU SBMPTN 2014]

   1. $x^2-x+9=0$
   2. $x^2+x+9=0$
   3. $x^2-9x-14=0$
   4. $x^2+9x+14=0$
   5. $x^2-9x+14=0$
JAWABAN E

$$\begin{align*} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\ x_1+x_2=-\dfrac{-1}{1}\\ x_1+x_2=1\\ \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\\ x_1\cdot x_2=\frac{-3}{1}\\\ x_1\cdot x_2=-3\\ \\ x_1^2+x_2^2 &= \left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ x_1^2+x_2^2 &= 1^2-2\left(-3\right)\\ &= 7\\ \\ 2\left(x_1+x_2\right)= 2\left(1\right)\\ 2\left(x_1+x_2\right)= 2\\ \\ \\ Jadi,\ persamaan\ kuadrat\ baru:\\ x^2-\left(7+2\right)x+\left(7\cdot 2\right)=0\\ x^2-9x+14=0 \end{align*}$$




8. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar $a$ dan $b$ sehingga $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{10}$ adalah...
   
   [Mat-IPA SNMPTN 2010]

   1. $x^2-10x+7=0$
   2. $x^2-11x+7=0$
   3. $x^2+10x+7=0$
   4. $x^2-7x+10=0$
   5. $x^2-10x+17=0$
JAWABAN D

$$\begin{align*} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} &= \dfrac{7}{10}\\ \dfrac{a+b}{ab} &= \dfrac{7}{10}\\ Jadi,\ a+b =7 \ dan\ ab&= 10\\ \\ Persamaan\ kuadrat\ baru:\\ x^2-\left(a+b\right)+ab=0\\ x^2-7x+10=0 \end{align*}$$




9. Jika $p$ dan $q$ merupakan akar-akar persaamaan kuadrat
   $x^2-\left(a+1\right)x+\left(-a-\frac{5}{2}\right)=0$,
   maka nilai minimum $p^2+q^2$ adalah...
   
   [SAINTEK SBMPTN 2014]

   1. $\frac{5}{2}$
   2. 2
   3. 1
   4. $\frac{1}{2}$
   5. 0
JAWABAN B

$$\begin{align*} x^2-\left(a+1\right)x+\left(-a-\dfrac{5}{2}\right) &=0\\ p^2+q^2 &=\left(p+q\right)^2-2pq\\ p^2+q^2 &=\left(a+1\right)^2-2\left(-a-\dfrac{5}{2}\right)\\ a^2+2a+1+2a+5 &=0\\ a^2+4a+6 &=0\\ \\ Syarat\ minimum\ f'\left(x\right)=0\\ 2a+4 &=0\\ a &=-2\\ \\ Jadi,\ nilai\ minimum\ p^2+q^2\ adalah\\ \left(-2\right)^2+4\left(-2\right)+6 &=2 \end{align*}$$




10. Jika $x^2+x-1=0$, maka $x^4-3x^2+3=\cdots
    
    [Mat_Das Simak UI 2015]$

    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    5. 4
JAWABAN C

$$\begin{align*} x^2+x-1=0,\ maka\ x^2=-x+1\\ \\ x^3 &= x\cdot x^2\\ x^3 &= x\cdot \left(-x+1\right)\\ x^3 &= -x^2+x\\ x^3 &= -\left(-x+1\right)+x\\ x^3 &= x-1+x\\ x^3 &= 2x-1\\ \\ \\ x^4 &=x\cdot x^3\\ x^4 &= x\cdot \left(2x-1\right)\\ x^4 &= 2x^2-x\\ x^4 &= 2\left(-x+1\right)-x\\ x^4 &= -2x+2-x\\ x^4 &= -3x+2\\ \\ \\ Jadi,\ \\ &= x^4-3x^2+3\\ &= \left(-3x+2\right)-3\left(-x+1\right)+3\\ &= -3x+2+3x-3+3\\ &= 2 \end{align*}$$

Materi, rumus, soal SBMPTN serta pembahasan pada bab persamaan kuadrat selesai dibahas. Kunjungi soal-soal SBMPTN lainnya dari website bimbelan.com agar selalu update materi. Tetap belajar selalu dan jangan patah semangat. Ingatlah selalu orang-orang yang bangga kepadamu ketika kamu mulai merasa menyerah.

Related Posts