LIMIT FUNGSI ALJABAR - METODE PEMFAKTORAN - Kikiholmes

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Selamat pagi semuanya.

Materi pada pertemuan kali ini yaitu tentang Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar. Sebelumnya saya sudah membahas konsep limit menggunakan grafik. Jika kamu masih belum bisa memahaminya, santai saja. Nanti saya akan coba menjelaskan kembali dan semoga kalian bisa memahami dengan lebih mudah, karena materi kali ini akan sangat membantu kamu. Sebelum kamu scroll ke bawah lebih lanjut, persiapkan buku cetak matematikanya.

Pada umumnya, limit fungsi aljabar itu berbentuk pecahan. Contohnya seperti ini.

$$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$$

Fungsi di atas dibaca Limit $x$ mendekati 2 dari $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$. Tanda panah ke kanan dibaca "mendekati". Bisa kita skip dahulu untuk hari ini arti kata mendekati dan mengapa harus ada kata mendekati di dalam limit. Fokus pada hari ini yaitu tentang menyelesaikan limit fungsi.

Nah, dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar, ada beberapa tahapan. Perhatikan baik-baik.

Substitusi Nilai x yang Ada di Depan Tanda Panah

Pada setiap soal limit, selalu ada tanda "$x\rightarrow$" di bawah tulisan $\text{Lim}$. Substitusikan nilai x yang ada di depan tanda panah tersebut ke soal. Jika hasil akhirnya Bukan Bentuk $\frac{0}{0}$[dibaca: nol per nol], maka selesai urusan. Jawaban dari soal tersebut adalah hasil akhir dari penyelesaian substitusi tadi.

Perhatikan contoh berikut. Saya ambil dari buku cetak Mandiri halaman 104 nomor 1. Contoh pertama saya ambilkan yang bukan pecahan.


$$\begin{align*} \text{Tentukan nilai limit dari }\\ \lim_{x\to 4}\left(4x^2+5x+1\right) \end{align*}$$

Penyelesaian:
Perhatikan angka di depan tanda panah, terdapat angka 4 disana. Nah, angka 4 itulah yang disubstitusi ke dalam fungsi $4x^2+5x+1$, sehingga
$$\begin{align*} \lim_{x\to 4}\left(4x^2+5x+1\right)\\ \\ \text{Substitusi x=4, diperoleh } &=4\times \left(4\right)^2+5\times \left(4\right)+1\\ &=4\times \left(16\right)+20+1\\ &=64+20+1\\ &=85 \end{align*}$$ Hasil akhirnya 85, dan 85 itu bukan $\tfrac{0}{0}$. Jadi itulah jawabannya, 85.

Gimana, ternyata gampang kan ya.

Saya ambil contoh yang lain lagi. Soal nomor 2 halaman 104.

$$\begin{align*} \text{Tentukan nilai limit dari}\\ \lim_{x\to 3}\dfrac{2x^2+3x-2}{x^2+5x+6} \end{align*}$$

Untuk soal kali ini, nilai $x$ yang disubstitusi adalah 3. Maka
$$\begin{align*} \lim_{x\to 3}\dfrac{2x^2+3x-2}{x^2+5x+6}\\ \\ \text{Substitusi x=3, maka }\\ \dfrac{2x^2+3x-2}{x^2+5x+6}&=\dfrac{2\left(3\right)^2+3\left(3\right)-2}{\left(3\right)^2+5\left(3\right)+6}\\ &=\dfrac{2\left(9\right)+3\left(3\right)-2}{\left(9\right)+5\left(3\right)+6}\\ &=\dfrac{18+9-2}{9+15+6}\\ &=\dfrac{25}{30}\\ &=\dfrac{5}{6} \end{align*}$$
Lihat dia atas hasilnya berbentuk pecahan yaitu $\frac{5}{6}$, bukan $\frac{0}{0}$. Maka itulah jawabannya, yaitu $\frac{5}{6}$

Coba saya ambil lagi soal nomor 3 halaman 104.

$$\begin{align*} \text{Tentukan nilai limit dari}\\ \lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2-x-1}{3x^2-x-2} \end{align*}$$

Di depan tanda panah, terdapat angka 1. Artinya nilai x=1 yang disubstitusi. Sehingga
$$\begin{align*} \lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2-x-1}{3x^2-x-2}\\ \text{Substitusi x=1 }\\ &=\dfrac{2\left(1\right)^2-\left(1\right)-1}{3\left(1\right)^2-\left(1\right)-2}\\ &=\dfrac{2\left(1\right)-1-1}{3\left(1\right)-1-2}\\ &=\dfrac{0}{0} \end{align*}$$

Ternyata hasilnya adalah $\frac{0}{0}$.

Disini sudah mulai pusing

Jika cara substitusi langsung tersebut menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, maka untuk mengatasinya dengan dua cara:

1. Pemfaktoran
Pemfaktoran ini dilakukan jika bentuk soalnya adalah aljabar biasa. Untuk memahami cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar, harus banyak belajar. Coba dibuka lagi buku catatan matematika kamu kelas IX semester 1, bab 2.
2. Merasionalkan Bentuk Akar
Penggunaan metode yang satu ini jika soal limit mengandung bentuk akar.

Untuk kali ini saya akan membahas metode pemfaktoran, untuk merasionalkan bentuk akar akan dibahas selanjutnya.

Metode Pemfaktoran

Dalam mempelajari pemfaktoran, harus banyak berlatih. Dan untuk soal kita tadi yang menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, maka penyelesaiannya seperti ini:
$$\begin{array}{rl}& =\underset{x\to <!--\; \to \; -->1}{lim}{\displaystyle \frac{2x^2-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->1}{3x^2-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->2}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->1}{lim}{\displaystyle \frac{(2x+1)(x-<!--\; -\; -->1)}{(3x+2)(x-<!--\; -\; -->1)}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->1}{lim}{\displaystyle \frac{(2x+1)\cancel{(x-<!--\; -\; -->1)}}{(3x+2)\cancel{(x-<!--\; -\; -->1)}}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->1}{lim}{\displaystyle \frac{(2\left(1\right)+1)}{(3\left(1\right)+2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$$

Pada pembilang dan penyebut tersebut, difaktorkan. Kemudian dicoret suku yang sama sehingga menjadi sederhana.

Lanjut ke contoh soal berikutnya

Nomor 8 halaman 104. Perhatikan contoh berikut.
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to <!--\; \to \; -->3}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-<!--\; -\; -->9}{x-<!--\; -\; -->3}}& =\cdots <!--\; \cdots \; -->\\ \\ \text{Penyelesaian}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->3}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-<!--\; -\; -->9}{x-<!--\; -\; -->3}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->3}{lim}{\displaystyle \frac{(x+3)(x-<!--\; -\; -->3)}{(x-<!--\; -\; -->3)}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->3}{lim}{\displaystyle \frac{(x+3)\cancel{(x-<!--\; -\; -->3)}}{\cancel{(x-<!--\; -\; -->3)}}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->3}{lim}(x+3)\\ & =3+3\\ & =6\end{array}$$
Bentuk $\left(x^2-9\right)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x+3\right)\left(x-3\right)$, kemudian disederhanakan dengan mencoret suku yang sama antara pembilang dan penyebut.

Contoh lagi, nomor 10 halaman 104.
$$\begin{array}{rl}& \text{Tentukan nilai dari }\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-<!--\; -\; -->6x+8}{x-<!--\; -\; -->4}}\\ \\ & \text{Penyelesaian }\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-<!--\; -\; -->6x+8}{x-<!--\; -\; -->4}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}{\displaystyle \frac{(x-<!--\; -\; -->4)(x-<!--\; -\; -->2)}{(x-<!--\; -\; -->4)}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}{\displaystyle \frac{\cancel{(x-<!--\; -\; -->4)}(x-<!--\; -\; -->2)}{\cancel{(x-<!--\; -\; -->4)}}}\\ & =\underset{x\to <!--\; \to \; -->4}{lim}(x-<!--\; -\; -->2)\\ & \text{substitusi nilai x =4}\\ & =(4-<!--\; -\; -->2)\\ & =2\end{array}$$
Materi ini terasa sulit jika kamu belum menguasai pemfaktoran. Jika nanti sudah berlaku pembelajaran tatap muka, akan saya jelaskan.

Tidak mengapa, yang penting kalian mencatat saja dahulu, karena Imam Syafi'i pernah berkata ikatlah ilmu dengan tulisan.

Jangan lupa untuk mengumpulkan materi ini ke WhatsApp saya secara pribadi ya. Semangat!

Related Posts