[PART 2] SOAL SBMPTN TURUNAN DAN PEMBAHASAN - Kikiholmes

Soal SBMPTN UTBK Turunan dan pembahasannya Part 2.

Soal materi UTBK-SBMPTN yang setiap tahun keluar adalah Turunan. Materi turunan ini erat kaitannya dengan nilai maksimum minimum suatu grafik, juga menentukan gradien. Baik itu grafik aljabar ataupun trigonometri.

Langsung saja menuju ringkasan materi dan contoh soal serta pembahasannya di bawah ini. Soal soal akan terus saya update. dan postingan ini merupakan lanjutan dari postingan sebelumnya mengenai materi turunan. Kamu dapat mempelajari soal turunan part 1, agar pemahaman dan penguasaan materi kamu menjadi lebih baik.

A. Rumus Turunan Fungsi

1. $f\left(x\right)=ax^n \rightarrow f'\left(x\right)=n\cdot a\cdot x^{n-1}$
2. $f\left(x\right)=c \rightarrow f'\left(x\right)=0$
3. $f\left(x\right)=ku \rightarrow f'\left(x\right)=k\cdot u'$
4. $f\left(x\right)=u\pm v\rightarrow f'\left(x\right)=u' \pm v'$
5. $f\left(x\right)=u\cdot v\rightarrow f'\left(x\right)=u'v+uv'$
6. $f\left(x\right)=\dfrac{u}{v}\rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
7. $f\left(x\right)=f\left(u\right)\rightarrow f'\left(x\right)=f'\left(u\right)\cdot u'$
8. $f\left(x\right)=\left(g\circ h\right)\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)$
   $ \rightarrow f'\left(x\right)=g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)$
9. $f\left(x\right)=e^x\rightarrow f'\left(x\right)=e^x$
10. $f\left(x\right)=ln\ x\rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}$

B. Turunan Fungsi Trigonometri

1. $f\left(x\right)=\sin x\rightarrow f'\left(x\right)=\cos x$
2. $f\left(x\right)=\cos x\rightarrow f'\left(x\right)=-\sin x$
3. $f\left(x\right)=\tan x\rightarrow f'\left(x\right)=\sec^2 x$
4. $f\left(x\right)=\cot x\rightarrow f'\left(x\right)=-\csc^2 x$
5. $f\left(x\right)=\sec x\rightarrow f'\left(x\right)=\sec x \tan x$
6. $f\left(x\right)=\csc x\rightarrow f'\left(x\right)=-\csc x\cot x$

C. Aplikasi Turunan

1. Persamaan Garis Singgung
Rumus persamaan garis singgung suatu kurva di titik $\left(x_1,y_1\right)$ adalah
$\left(y-y_1\right)=m\left(x-x_1\right)$


2. Fungsi Naik Turun
Fungsi dikatakan naik jika $f'\left(x\right)>0$.
Fungsi dikatakan turun jika $f'\left(x\right)<0$
Fungsi mencapai titik stasioner jika $f'\left(x\right)=0$


3. Nilai Stasioner
Suatu fungsi mencapai nilai stasioner saat $f'\left(x\right)=0$. Jenis nilai stasioner:

1. Nilai minimum $f''\left(x\right)>0$
2. Nilai maksimum $f''\left(x\right)<0$
3. Titik belok $f''\left(x\right)=0$

---

Berikut ini adalah soal-soal Turunan tipe SBMPTN. Soal akan terus saya update. jadi tungguin saja.

1. Volume balok terbesar yang luas semua bidang sisinya $\small 96\ cm^2$ dan alasnya persegi adalah...
   SNMPTN 2008

   1. $\small 54\ cm^3$
   2. $\small 64\ cm^3$
   3. $\small 74\ cm^3$
   4. $\small 84\ cm^3$
   5. $\small 94\ cm^3$


JAWABAN B

Perhatikan di soal, bahwa alas dari balok tersebut adalah persegi, artinya alas tersebut mempunyai panjang yang sama dengan lebarnya.



Misalkan:
panjang = $\small x$
lebar = $\small x$
tinggi = $\small y$
$$\begin{align*} & \text{Luas semua sisi } = 96\\ & 2x^2+4xy=96\\ & x^2 +2xy=48\\ & xy=\frac{48-x^2}{2}\\ \\ \\ & \text{volume balok: }\\ & V=x\cdot x\cdot y\\ & V=x\left(xy\right)\\ & V=\frac{x\left(48-x^2\right)}{2}\\ & V=\frac{48x-x^3}{2}\\ & V=24x-\frac{1}{2}x^3\\ \\ \\ & \text{Syarat volume maksimum: } V'=0\\ & V=24x-\frac{1}{2}x^3\\ & V\Rightarrow 24-\frac{3}{2}x^2=0\\ & 24=\frac{3}{2}x^2\\ & 24\cdot 2=3x^2\\ & \frac{48}{3}=x^2\\ & 16 =x^2\\ & \sqrt{16}=x\\ & 4=x\\ \\ & \text{Mencari nilai }y:\\ & xy=\frac{48-x^2}{2}\\ & \text{Substitusi nilai x=4 }\\ & 4y=\frac{48-4^2}{2}\\ & 4y=16\\ & y=4\\ \\ \\ & \text{Maka volume: }\\ & V=x \cdot x \cdot y\\ & V=4\cdot 4\cdot 4\\ & V=64 \end{align*}$$
Pembahasan video di bawah ini.


---




2. Nilai minimum dari fungsi $\displaystyle y=\left(x-3\right)\sqrt{x}$ adalah...

   1. $-2$
   2. $-1$
   3. $0 $
   4. $1$
   5. $2 $


JAWABAN A

$$\begin{align*} & y=\left(x-3\right)\sqrt{x}\\ & y=x\sqrt{x} -3\sqrt{x}\\ & y=x^{\frac{2}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}-3\cdot x^{\frac{1}{2}}\\ & y=x^{\frac{3}{2}}-3 x^{\frac{1}{2}}\\ \\ \\ & \text{Syarat nilai minimum: }y'=0\\ & y'=\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1}-3\cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=0\\ & \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}=0\\ & \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\ & \sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\ & \text{dikali silang, maka: }\\ & \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=1\\ & x=1\\ \\ \\ & \text{Jadi, nilai minimumnya: }\\ & y=\left(x-3\right)\sqrt{x}\\ & y=\left(1-3\right)\sqrt{1}\\ & y=\left(-2\right)\cdot 1\\ & y=-2 \end{align*}$$

Pembahasan dalam bentuk video sebagai berikut.


---




3. Diketahui fungsi-fungsi $\small f$ dan $\small g$ dengan $\small f\left(x\right)g\left(x\right)=x^2-3x$ untuk setiap bilangan real $\small x$. Jika $\small g\left(1\right)=2$ dan $\small f'\left(1\right)=f\left(1\right)=-1$, maka $\small g'\left(1\right)=\cdots $

   1. 2
   2. 1
   3. 0
   4. $\small -1$
   5. $\small -2$


JAWABAN D

$$\begin{align*} & \text{Diketahui:}\\ & g\left(1\right)=2\\ & f'\left(x\right)=f\left(1\right)=-1\\ & f\left(x\right)g\left(x\right)=x^2-3x\\ \\ \\ & \text{Diturunkan menggunakan rumus }\\ & \text{turunan perkalian}\\ & f\left(x\right)g\left(x\right)=x^2-3x\\ & f'\left(x\right)g\left(x\right)+g'\left(x\right)f\left(x\right)=2x-3\\ \\ & \text{Substitusi nilai }x=1\\ & f'\left(1\right)g\left(1\right)+g'\left(1\right)f\left(1\right)=2\left(1\right)-3\\ & \left(-1\right)\left(2\right)+g'\left(1\right)\left(-1\right)=-1\\ & g'\left(-1\right)=-1 \end{align*}$$

Pembahasan versi video sebagai berikut


---




4. Suatu kerucut memiliki panjang jari-jari $\small r$ dan tinggi $\small t$. Jika $\small r+t=12$, maka nilai maksimum volume kerucut adalah...

   1. $\small 72 \pi $
   2. $\small \frac{215\pi}{3}$
   3. $\small \frac{225}{3} \pi$
   4. $\small \frac{256 \pi}{3}$
   5. $\small 100 \pi$


JAWABAN D

$$\begin{align*} & \text{Diketahui:}\\ & \text{jari-jari =}r\\ & \text{tinggi= } t\\ & \\ & r+t=12\\ & t=12-r\\ & \\ & \text{Volume kerucut: } \\ & V=\frac{1}{3}\pi r^2t\\ & \frac{1}{3}\pi r^2 \left(12-r\right)\\ & V=\frac{\pi}{3}\left(12r^2-r^3\right)\\ & \\ & \text{Syarat volume maksimum= }V'=0\\ & V'=\frac{\pi}{3} \left(24r-3r^3\right)=0\\ & \left(8r-r^2\right)=0\\ & r\left(8-r\right)=0\\ & 0 \text{ atau } r=8\\ \\ & r \text{ tidak mungkin nol, maka }\\ & r=8\\ \\ &\text{maka, volume maksimum:}\\ & V=\frac{1}{3}\pi \left(8\right)^2\cdot 4\\ & V=\frac{256 \pi}{3} \end{align*}$$

Pembahasan versi video sebagai berikut


---




5. Fungsi $\small \displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\cos^2 x+\frac{x}{2}+\pi },\ x>0$ turun pada interval...
   [SBMPTN 2015/SAINTEK/508/11]

   1. $\small \frac{\pi}{6}< x < \frac{\pi}{3} $
   2. $\small \frac{\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12} $
   3. $\small \frac{\pi}{12} < x < \frac{5\pi}{12} $
   4. $\small 0 < x < \frac{5\pi}{12} $
   5. $\small 0 < x < \frac{\pi}{12} $


JAWABAN C

Perlu ketelitian tingkat tinggi dalam memahami soal dan jawaban ini. Kamu bisa lihat video pembahasannya jika ada yang kurang paham pada penyelesaian ini.

$$\begin{align*} & f\left(x \right)=\sqrt{\cos^2 x+\left( \frac{x}{2} \right)+ \pi}\\ & f\left(x\right)=\left(\cos^2 x+\left(\frac{x}{2}\right)+\pi \right)^{\frac{1}{2}}\\ \\ & \text{Turunkan menggunakan aturan rantai}\\ & f'\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(\cos^2 x+\left(\frac{x}{2}\right)+\pi\right)^{\left(\frac{1}{2}-1\right)}\cdot \left(-2\cos x \sin x+\frac{1}{2}+0\right)\\ & f'\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(-2\cos x \sin x+\frac{1}{2}+0\right)\cdot \left(\cos^2 x+\left(\frac{x}{2}\right)+\pi\right)^{-\frac{1}{2}}\\ & f'\left(x\right)=\frac{\left(-2\cos x \sin x+\frac{1}{2}\right)}{2}\cdot \frac{1}{\left(\cos^2 x+\left(\frac{x}{2}\right)+\pi\right)^{\frac{1}{2}}}\\ & f'\left(x\right)=\frac{-2\cos x \sin x+\frac{1}{2}}{2\sqrt {\cos^2 x+\left(\frac{x}{2}\right)+\pi}} \end{align*}$$

Nah, perhatikan bahwa syarat fungsi $\small f\left(x\right)$ turun adalah $\small f'\left(x\right) < 0$. Artinya, nilai turunan dari $\small f\left(x\right)$ harus negatif.

Lihat pada bagian akhir proses turunan tadi,
$$\begin{align*} & f'\left(x\right)=\frac{-2\cos x \sin x+\frac{1}{2}}{2\sqrt {\cos^2 x+\left(\frac{x}{2}\right)+\pi}} \end{align*}$$
dan perhatikan pula soal tadi,
$$\begin{align*} f\left(x\right)=\sqrt{\cos^2 x+\frac{x}{2}+\pi },\ x>0 \end{align*}$$

Nilai Akar itu positif [pada soal], sedangkan pada turunan terakhir tadi, Akar tersebut berada di bagian penyebut, dan dikali dengan 2.

Artinya, untuk mendapatkan nilai turunan $\small f'\left(x\right)$ kurang dari nol [fungsi harus turun], maka pembilang harus negatif [karena di bagian penyebut sudah tadi positif].

Ingat, negatif dibagi positif hasilnya negatif.

jadi, kita sekarang melihat bagian pembilangnya saja.

Cari batas atau pembuat nol nya dulu.
$$\begin{align*} & -2\cos x \sin x+\frac{1}{2} =0\\ & -\sin 2x+\frac{1}{2}=0\\ & -\sin 2x = -\frac{1}{2}\\ & \sin 2x = \frac{1}{2}\\ & \sin 2x = \sin 30^o \text{ atau } \sin 2x = \sin 150^o\\ & 2x = 30^o \text{ atau } 2x = 150^o\\ & x = 15^o \text{ atau } x = 75^o\\ & \text{Jika menggunakan radian, maka }\\ & x = \frac{\pi}{12} \text{ atau } x= \frac{5\pi}{12} \end{align*}$$ Ingat, karena tadi < 0, maka daerah penyelesaian dimasukkan nilai seperti ini




Uji daerah pertidaksamaan, disini saya mengambil nilai $\small x=0^o$ yang letaknya berada di sebelah kiri, kemudian substitusikan ke persamaan yang sudah diturunkan tadi.
$\small -2\sin 2\left(0^o\right)+\frac{1}{2}$
$\small -2\sin 0^o+\frac{1}{2}$
$\small \frac{1}{2}$

Hasilnya positif $\small \frac{1}{2}$, artinya tempat saya mengambil nol derajat tadi, daerahnya positif, dan derah sebelahnya negatif, sebelahnya lagi positif. Berselang-seling.




Ingat tadi, pembilang harus negatif, artinya daerah penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif, yaitu di tengah.





---




6. Diketahui $\small F\left(x\right)=\left(a+1\right)x^3-3bx^2+9x$. Jika $\small F''\left(x\right)$ habis dibagi $\small x-1$, maka kurva $\small y=F\left(x\right)$ tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika...
   [SBMPTN 2013/IPA/433/5]

   1. $\small -3 < b < 0$
   2. $\small 0 < b < 3$
   3. $\small -4 < b < -1$
   4. $\small -4 < b < 0$
   5. $\small 1 < b < 4$


JAWABAN B

Diketahui:
$\small F\left(x\right)=\left(a+1\right)x^3-3bx^2+9x$
$\small F\left(x\right)$ habis dibagi $\small \left(x-1 \right)$


Syarat kurva tidak memiliki titik ekstrim lokal=?

$$\begin{align*} & F\left(x\right)=\left(a+1\right)x^3-3bx^2+9x\\ & F'\left(x\right)=3\left(a+1\right)x^2-6bx+9\\ & F''\left(x\right)=6\left(a+1\right)x-6b\\ \\ & \text{karena } F''\left(x\right) \text{ habis dibagi }\left(x-1\right):\\ & \text{Maka } F''\left(1\right)=0\\ \\ & F''\left(1\right)=0\\ & 6\left(a+1\right)1-6b=0\\ & 6a+6-6b=0\\ & 6\left(a+1-b\right)=0\\ & a+1-b=\frac{0}{6}\\ & a+1-b=0\\ & a+1=b\\ \\ & \text{Maka nilai }F\left(x\right) \text{ menjadi }\\ & \left(x\right)=\left(a+1\right)x^3-3bx^2+9x\\ & \left(x\right)=bx^3-3bx^2+9x\\ \\ \\ & \text{Untuk menentukan syarat titik ekstrim,}\\ & \text{syaratnya }F'\left(x\right)=0\\ \\ & F'\left(x\right)=0\\ & 3bx^2-6bx+9=0\\ \\ \\ & \text{Agar tidak mempunyai titik ekstrim lokal,}\\ &\text{maka }D < 0\\ \\ & D < 0\\ & b^2-4ac < 0\\ & \left(-6b\right)^2-4\left(3b\right)\left(9\right) < 0\\ & 36b^2-36\left(3b\right) < 0\\ & 36 \left(b^2-3b\right) < 0\\ & b^2-3b < \frac{0}{36}\\ & b\left(b-3\right)\\ & b=0 \text{ atau }b=3\\ \\ \end{align*}$$ Ingat, tanda pertidaksamaannya kurang dari nol, maka daerah penyelesaian berada di tengah.



---

Demikian postingan kali ini saya buat. Kamu saat ini berada di laman SOAL SBMPTN TURUNAN DAN PEMBAHASAN PART 2. Soal-soal SBMPTN ini akan terus saya update. Sekali lagi perlu saya ingatkan bahwa dengan banyak berlatih soal-soal SBMPTN Turunan, kalian akan terampil dalam menyelesaikan soal.

Semoga bermanfaat. Selamat belajar dan Semoga sukses.

Related Posts