Materi Peluang menjadi suatu kewajiban untuk dikuasai jika kamu ingin menaklukkan UTBK SBMPTN, UM, SIMAK UI, UTUL UGM, dan Ujian Masuk perguruan tinggi lainnya. Konsep dan rumusnya tidak banyak. Namun penerapan pada penyelesaian soal yang cenderung sukar.
Mengapa? Karena materi UTBK SBMPTN Peluang ini sangat membutuhkan nalar dan logika. Mulai dari hal sederhana seperti membedakan permutasi dan kombinasi, hingga membedakan peluang kejadian saling lepas atau saling bebas.
Solusinya adalah perbanyak mengerjakan soal dan memahami pembahasannya. Rumus tidak terlalu banyak pada materi Peluang ini.
Kali ini saya akan membagikan soal dan pembahasan materi Peluang yang biasa muncul pada UTBK SBMPTN atau UM perguruan tinggi. Dilengkapi dengan pembahasan yang rinci dengan harapan agar kamu dapat memahaminya dengan baik.
Soal-soal ini akan terus saya update, jadi terus pantau website ini ya. Langsung saja dibaca ringkasan materi Peluang dan beberapa soal level SBMPTN dan pembahasannya.
Aturan Perkalian
Jika banyak cara memilih unsur pertama ada $\small m$ cara dan banyak cara memilih unsur kedua ada $\small n$ cara, maka banyak cara memilih kedua unsur tersebut sekaligus ada $\small m\times n$ cara
Aturan Penjumlahan
Jika banyak cara memilih unsur pertama ada $\small m$ cara dan banyak cara memilih unsur kedua ada $\small n$ cara, maka banyak cara memilih ada $\small m+ n$ cara. Pada aturan penjumlahan, unsur tidak bisa dipilih sekaligus. Jadi harus memilih salah satu.
Permutasi
Yaitu banyaknya penyusunan objek dengan memperhatikan letak/susunan. Pada permutasi, terdapat beberapa jenis:
Permutasi $\small r$ unsur dari $\small n$ unsur:
$\small \displaystyle \boxed{P_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}}$
Permutasi $\small n$ unsur [menggunakan seluruh unsur]:
$\small \displaystyle \boxed{n!}$
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama:
$\small \displaystyle \boxed{\frac{n!}{a!\cdot b!\cdot c!}}$
Dengan $\small a,\ b,\ c$ menyatakan banyaknya unsur yang sama.
Kombinasi
Yaitu menyatakan banyaknya cara/penyusunan objek-objek dengan tidak memperhatikan urutan/susunan. Banyaknya kombinasi [susunan] $\small r$ unsur dari $\small n$ unsur adalah:
$\small \displaystyle \boxed{C_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\cdot r!}}$
C. PELUANG KEJADIAN
Definisi
Peluang suatu kejadian adalah kemungkinan munculnya suatu kejadian dari sebuah semesta himpunan. Nilai peluang terkecil adalah nol dan terbesar adalah satu. Rumusnya:
$\small \displaystyle \boxed{P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}}$
$\small n\left(A\right)$ = banyaknya kemungkinan terjadi kejadian A
$\small n\left(S\right)$ = banyaknya seluruh kejadian yang mungkin
Frekuensi Harapan
Jika $\small A$ adalah kejadian pada ruang sampel $\small S$ dengan peluang $\small P\left(A\right)$, frekuensi harapan kejadian $\small A$ dari $\small n$ kali percobaan adalah:
$\small \displaystyle \boxed{F\left(A\right)=n\cdot P\left(A\right)}$
Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas
Yaitu peluang kejadian dengan syarat ada anggota dari himpunan $\small A$ yang juga menjadi anggota dari himpunan $\small B$. Dengan kata lain, ada irisan himpunan $\small A$ dan $\small B$.
$\small \displaystyle \boxed{P\left(A\ \cup\ B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\ \cap\ B\right)}$
Peluang Kejadian Saling Lepas
Sebuah peluang kejadian dengan syarat tidak ada irisan antara dua himpunan, sehingga $\small A\ \cap\ B=0$.
Rumusnya: $\small \displaystyle \boxed{P\left(A\ \cup \ B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)}$
Peluang Kejadian Saling Bebas
Syarat dari kejadian ini adalah bila suatu kejadian tidak mempengaruhi kejadian yang lain. Rumusnya:
$\small \displaystyle \boxed{P\left(A\ \cap\ B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)}$
Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Komplemen suatu kejadian $\small A'$ adalah lawan atau kebalikan dari peluang kejadian $\small A$. Sering didefinisikan bahwa $\small P\left(A'\right)$ adalah peluang kejadian bukan $\small A$. Rumusnya:
$\small \displaystyle \boxed{P\left(A'\right)=1-P\left(A\right)}$
Kuylah kerjain!
Enam orang mengemudi dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah 4 orang termasuk pengemudinya. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah... Mat-IPA SBMPTN 2012
$\small 10$
$\small 14$
$\small 24$
$\small 54$
$\small 96$
JAWABAN B
Terdapat enam orang, dua diantaranya adalah pemilik mobil. Artinya 4 orang bisa berpindah-pindah susunan. Kita tinggal memilih 4 orang saja.
Namun ingat, kapasitas setiap mobil adalah 4 orang termasuk pengemudi.
Misalkan 4 orang yang akan dipilih itu adalah A, B, C, dan D. Maka:
$$\begin{align*}
& \text{Cara 1: }\\
& C_1^4=\frac{4!}{\left(4-1\right)!\cdot 1!}\\
& C_1^4=\frac{4!}{3!\cdot 1!}\\
& C_1^4=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1 \times 1}\\
& C_1^4=\frac{24}{6}\\
& C_1^4=4\\
\\
& \text{Banyaknya kemungkinan ada 4, yaitu }\\
& \text{mobil 1: ABC, mobil 2: D}\\
& \text{mobil 1: ABD, mobil 2: C}\\
& \text{mobil 1: ACD, mobil 2: B}\\
& \text{mobil 1: BCD, mobil 2: A}\\
\\
\\
& \text{Cara 2: }\\
& C_2^4=\frac{4!}{\left(4-1\right)!\cdot 2!}\\
& C_2^4=\frac{4!}{2!\cdot 2!}\\
& C_2^4=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1\cdot 2\times 1}\\
& C_2^4=\frac{24}{4}\\
& C_2^4=6\\
& \text{Banyaknya kemungkinan ada 6, yaitu:}\\
& \text{mobil 1: AB, mobil 2: CD}\\
& \text{mobil 1: AC, mobil 2: BD}\\
& \text{mobil 1: AD, mobil 2: BC}\\
& \text{mobil 1: BC, mobil 2: AD}\\
& \text{mobil 1: BD, mobil 2: AC}\\
& \text{mobil 1: CD, mobil 2: AB}\\
\\
\\
& \text{Cara 3: }\\
& C_3^4=\frac{4!}{\left(4-3\right)!\cdot 3!}\\
& C_3^4=\frac{4!}{1!\cdot 3!}\\
& C_3^4=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1\times 3\times 2\times 1 }\\
& C_3^4=\frac{24}{6}\\
& C_3^4=4\\
\\
& \text{Banyaknya kemungkinan ada 4, yaitu }\\
& \text{mobil 1: A, mobil 2: BCD}\\
& \text{mobil 1: B, mobil 2: ACD}\\
& \text{mobil 1: C, mobil 2: ABD}\\
& \text{mobil 1: D, mobil 2: ABC}\\
\\
\\
\\
& \text{Jumlahkan hasil semuanya, diperoleh:}\\
& 4+6+4=14
\end{align*}$$
Di dalam kotak terdapat 3 bola biru, 4 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah... [SPMB 2006/IPA/15
$\frac{1}{24}$
$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{11} $
$\frac{2}{11}$
$\frac{3}{12} $
JAWABAN B
Banyaknya bola biru: 3
Banyaknya bola merah: 4
Banyaknya bola putih: 2
Perhatikan, yang ditanyakan di soal adalah terambilnya bola merah 2 kali bola putih. Sedangkan bola putih ada 2 buah.
Artinya jika bola putih terambil 1, maka bola merah harus terambil 2. Atau jika bola putih terambil 2, maka bola merah harus terambil 4.
Jika terambil 1 bola putih, maka:
1 putih, 2 merah, 4 bola biru.
Ini tidak mungkin terjadi, karena bola biru hanya ada 3. Dan ingat lagi bahwa diambil 7 bola.
Artinya, bola putih harus terambil 2. Dengan demikian, bola merah akan terambil 4. Sisanya terambil 1 bola biru.
Satu dadu dilempar 3 kali. Peluang mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali adalah... [TKDA SBMPTN 2014]
$\frac{1}{216}$
$\frac{11}{216}$
$\frac{12}{216}$
$\frac{18}{216}$
$\frac{91}{216}$
JAWABAN E
Seperti yang kita ketahui, bahwa pada satu dadu terdapat 6 mata dadu, yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Ada dua cara dalam menjawab soal ini. Pertama menggunakan konsep peluang komplemen, dan kedua menggunakan konsep peluang biasa.
Cara 1, menggunakan konsep peluang komplemen.
Misalkan $\small P\left(A\right)$ adalah peluang munculnya kejadian $\small A$, maka peluang muncul kejadian bukan $\small A$ disebut $\small P\left(A\right)'$. Dimana:
$$\small \boxed{P\left(A\right)+P\left(A\right)'=1}$$
Misalkan kejadian $\small A$ adalah munculnya mata dadu 6 [6]. Maka kejadian $\small A'$ adalah muncul mata dadu selain 6 [1, 2, 3, 4, 5].
$\small n\left(A\right)'=5$.
Maka Peluang muncul mata dadu selain angka 6:
$\small P\left(A\right)'=\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{125}{216}$
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali:
$$\small \begin{align*}
& P\left(A\right)+P\left(A\right)'=1\\
& P\left(A\right)+\frac{125}{216}=1\\
& P\left(A\right)=1-\frac{125}{216}\\
& P\left(A\right)=\frac{216}{216}-\frac{125}{216}\\
& P\left(A\right)=\frac{91}{216}
\end{align*}$$
Cara 2, menggunakan konsep peluang biasa.
Kita bagi menjadi 3 kemungkinan kejadian:
Dari 3 pelemparan, muncul 1 angka 6, 2 lainnya bukan angka 6.
Dari bagian ini pun ada 3 kemungkinan lagi:
Pelemparan 1 muncul 6, pelemparan 2 dan 3 bukan angka 6:
$\small \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{216}$
Pelemparan 1 bukan angka 6, pelemparan 2 angka 6 dan pelemparan 3 bukan angka 6:
$\small \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{216}$
Pelemparan 1 dan 2 muncul bukan 6, pelemparan 3 muncul angka 6:
$\small \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{25}{216}$
Total semuanya: $\small \frac{25+25+25}{216}=\frac{75}{216}$
Dari 3 pelemparan, muncul dua kali angka 6, ssatu pelemparan muncul bukan angka 6
Bagian ini pun ada 3 kemungkinan lagi:
Pelemparan 1 muncul 6, pelemparan 2 muncul 6 dan pelemparan 3 bukan angka 6:
$\small \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{216}$
Pelemparan 1 bukan angka 6, pelemparan 2 angka 6 dan pelemparan 3 angka 6:
$\small \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{216}$
Pelemparan 1 muncul angka 6, pelemparan 2 bukan angka 6, pelemparan 3 muncul angka 6:
$\small \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{216}$
Total semuanya: $\small \frac{5+5+5}{216}=\frac{15}{216}$
Dari 3 pelemparan, semuanya muncul angka 6. Maka:
$\small \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{216}$
Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah... [SAINTEK SBMPTN 2013]
$\small \frac{1}{60} $
$\small \frac{1}{20} $
$\small \frac{1}{13} $
$\small \frac{1}{10} $
$\small \frac{1}{5} $
JAWABAN E
Terdapat 6 orang yang terdiri dari 3 laki-laki dan 3 perempuan. Sementara, 3 orang perempuan ini harus duduk berdampingan. Artinya, 3 orang perempuan ini dapat kita hitung menjadi 1 orang [3 orang menjadi 1 kelompok].
Jadi, sekarang banyaknya orang ada 4, yaitu 3 laki-laki + 1 kelompok perempuan. Banyaknya cara mereka duduk ada : $\small 4!$
Sedangkan 3 orang perempuan tadi juga dihitung faktorialnya. Karena 3 orang menjadi 1 kelompok, maka hitungannya untuk kelompok perempuan ini adalah: $\small 3!$.
SMA X memiliki 6 kelas dengan banyak siswa pada setiap kelas adalah 16 pria dan 16 wanita. Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas, maka peluang 2 orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah...
[TKDU SBMPTN 2014]
$\small \frac{32}{64} $
$\small \frac{15}{64} $
$\small \frac{6}{64} $
$\small \frac{2}{64} $
$\small \frac{1}{64}$
JAWABAN B
Karena banyaknya pria sama dengan banyaknya wanita pada masing-masing kelas, maka keduanya mempunyai peluang yang sama untuk terpilih, yaitu: $\small \frac{1}{2}$
Kasus ini sebenarnya mirip dengan pelemparan koin sebanyak 6 kali. Pada sebuah koin, peluang masing-masing muncul angka dan gambar adalah $\small \frac{1}{2}$. Sebuah koin dilempar 6 kali, maka $\small n\left(S\right)=2^6=64$.
Jadi, banyaknya ruang sampel dari 6 kelas akan sama dengan banyaknya ruang sampel ada pelemparan 6 koin: $\small n\left(S\right)=2^6=64$.
Jadi, peluangnya:
$$\begin{align*}
& =\frac{C_2^6}{2^6}\\
& =\frac{\frac{6!}{4!\cdot 2!}}{64}\\
& =\frac{\frac{6\times 5\times 4!}{4!\cdot 2\times 1}}{64}\\
& =\frac{\frac{30}{2}}{64}\\
& =\frac{15}{64}
\end{align*}$$
Dari mana $\small C_2^6$ ?
Ingat pada soal, setiap kelas dipilih satu orang. Ada 6 kelas, jadi akan ada 6 orang yang terpilih.
Ini menggunakan kombinasi, memilih 2 orang dari 6 orang yang tersedia.
Dua kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\small \frac{11}{36}$. Peluang terpilih paling sedikit
satu diantaranya laki-laki adalah...
[SAINTEK SBMPTN 2015]
$\small \frac{161}{180} $
$\small \frac{155}{180} $
$\small \frac{25}{180} $
$\small \frac{19}{180} $
$\small \frac{11}{180} $
JAWABAN A
Jumlah siswa masing-masing kelas ada $\small 30$ orang
Misalkan:
Banyaknya siswa laki-laki kelas pertama adalah $\small x$, maka:
$\small P\left(L_1\right)=\frac{x}{30}$
Banyaknya siswa laki-laki di kelas kedua adalah $\small y$, maka:
$\small P\left(L_2\right)=\frac{y}{30}$
Kuy dihitung lah.
$$\begin{align*}
& P\left(L_1 \cap L_2\right)=\frac{x}{30}\cdot \frac{y}{30}\\
& \frac{11}{36}=\frac{x}{30}\cdot \frac{y}{30}\\
& \frac{11}{36}=\frac{xy}{900}\\
& \frac{900\cdot 11}{36}=xy\\
& 25\cdot 11=xy
\end{align*}$$
Jadi, kemungkinan $\small x=25$ dan $\small y=11$ atau sebaliknya.
Jika $\small n\left(L_1\right)=25$, maka $\small n\left(P_1\right)=5$.
Artinya $\small P\left(P_1\right)=\frac{5}{30}$
Jika $\small n\left(L_2\right)=11$, maka $\small n\left(P_2\right)=19$.
Artinya $\small P\left(P_2\right)=\frac{19}{30}$
Sehingga,
$$\begin{align*}
& P\left(P_1\cap P_2\right)=P\left(P_1\right)\ \cdot \ P\left(P_2\right)\\
& P\left(P_1\cap P_2\right)=\frac{5}{30}\ \cdot \ \frac{19}{30}\\
& P\left(P_1\cap P_2\right)=\frac{95}{900}\\
& P\left(P_1\cap P_2\right)=\frac{19}{180}
\end{align*}$$
Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki sama artinya dengan komplemen dari peluang terpilihnya semua perempuan.
Maka:
$$\begin{align*}
& P\left(text{Paling sedikit satu laki-laki:}\right)\\
& =1-P\left(P_1\ \cap\ p_2\right)\\
& =1-\frac{19}{180}\\
& =\frac{180}{180}-\frac{19}{180}\\
& =\frac{161}{180}
\end{align*}$$
Jika huruf dari kata "STATISTIKA" disusun secara acak, maka peluang bahwa kata yang dibentuk dimulai dari huruf S dan diakhiri dengan huruf K adalah...
[SAINTEK UM UNDIP 2015]
$\small \frac{2}{45} $
$\small \frac{5}{45} $
$\small \frac{6}{45} $
$\small \frac{7}{45} $
$\small \frac{8}{45}$
JAWABAN A
Perhatikan kata STATISTIKA yang terdiri dari 2 huruf S, 3 huruf T, 2 huruf A, 2 huruf I, dan 1 huruf K.
Total banyaknya huruf ada 10 buah.
Misalkan $\small A:$ kejadian menyusun kata yang diawali dengan huruf S dan diakhiri dengan huruf K.
Maka, huruf awal akan terisi dengan S [ada 2 huruf S] dan huruf terakhir akan terisi dengan huruf K [huruf K ada 1].
Tadi total ada 10 buah huruf, karena sudah terpakai 2 buah huruf [untuk huruf terdepan dan huruf terakhir], maka ditengah-tengah akan ada 8 huruf.
Berarti ada 3 cara penyusunan.
$$\begin{align*}
& \text{Untuk huruf pertama yaitu S,}\\
& \text{dimana terdapat 2 buah huruf S, maka:}\\
& =2!\\
& =2\\
\\
\\
\\
& \text{Untuk huruf terakhir yaitu K,}\\
& \text{dimana terdapat 1 buah huruf K, maka:}\\
& =1!\\
& =1\\
\\
\\
\\
& \text{Untuk 8 huruf ditengah,}\\
& \text{maka:}\\
& =\frac{8!}{3! \cdot 2! \cdot 2!}\\
& =\frac{40.320}{6\cdot 2\cdot 2}\\
& =\frac{40.320}{24}\\
& =1.680\\
\\
\\
\\
& n\left(A\right)=2\cdot 1.680\cdot 1\\
& n\left(A\right)=3.360
\end{align*}$$
Demikian postingan kali ini saya buat. Kamu saat ini berada di laman SOAL SBMPTN PELUANG DAN PEMBAHASAN. Soal-soal SBMPTN ini akan terus saya update. Sekali lagi perlu saya ingatkan bahwa dengan banyak berlatih soal-soal SBMPTN Peluang, maka kamu akan terampil dalam menyelesaikan soal.
Semoga bermanfaat. Selamat belajar dan Semoga sukses.
![LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN SKD TKP CPNS [PART 9]](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhFmeh-WdAAh6n3WoiT2rp6xP1_CHJGtFdFc16ehFnaRnQf_XQ0d-hyqrYuM7O60oF30HsSENxvG1xdxmgK9FCN9n0N4sYAPCVTQBVWIRtkrWbQpzaFP-sckQO8CGTWHazm-Ju1BGUxUn-jRWhnI_jPvCYWP2-f2noiR_v_PyVvc5aMWFrz9-hMnlvs=w100-h100-p-k-no-nu "LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN SKD TKP CPNS [PART 9]")
