RUMUS & SOAL SBMPTN POLINOMIAL DAN PEMBAHASAN - Kikiholmes

Photo by Jeswin Thomas on Unsplash

Apa yang kamu lakukan untuk menyelesaikan persamaan berpangkat lebih dari dua? Tahukah kamu bahwa persamaan itu tidak hanya berupa linear atau kuadrat? Simak baik-baik artikel ini.

Kali ini akan disajikan materi singkat, rumus, soal-soal SBMPTN dan pembahasannya. Disajikan secara lugas dan terperinci, dengan harapan akan mempermudah kamu dalam belajar. Karena dengan banyak belajar, maka persiapan kamu untuk menghadapi SBMPTN akan semakin matang.

Kalian pasti telah mengenal bilangan atau variabel berpangkat dan operasi-operasi yang melibatkan bilangan atau variabel berpangkat tersebut. Fungsi yang memuat bilangan yang belum diketahui diantaranya adalah fungsi linear dan fungsi kuadrat. Pada pembahasan kali ini, disajikan materi singkat, rumus, soal-soal level SBMPTN serta pembahasannya.

Materi yang ada berupa definisi, nilai polinomial, operasi pada polinomial, teorema faktor, dan teorema sisa. Kuy langsung scroll ke bawah saja.

A. Definisi Polinomial

1. Bentuk Umum
Suku banyak dalam $x$ berderajat $n$ dinyatakan sebagai:

$\small \displaystyle \boxed{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x^1+a_0}$

dengan:

1. $a_n \neq 0$
2. n bilangan cacah
3. $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_2,a_1,a_0$ merupakan bilangan real
4. $x^n,x^{n-1},\cdots , x^2, x$ merupakan variabel



2. Nilai Polinomial
1. Cara Substitusi
Misalkan polinomial
$$\begin{align*}\small f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x^1+a_0 \end{align*}.$$
Nilai polinomial $f\left(x\right)$ untuk $x=k$ adalah
$$\begin{align*}\small f\left(k\right)=a_nk^n+a_{n-1}k^{n-1}+\cdots +a_2k^2+a_1k^1+a_0\end{align*}$$


2. Cara Horner/Skema/Sintetik
   
   

B. Operasi Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan penguranga antarsuku polinomial dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan koefisien dari variabel yang berpangkat sama.


2. Perkalian
Perkalian antarsuku polinomial dilakukan dengan cara mengalikan setiap suku dari polinomial dengan suku dari polinomial lainnya.


3. Algoritma Pembagian Polinomial
Polinomial $f\left(x\right)$ jika dibagi oleh $p\left(x\right)$ akan diperoleh hasil bagi $h\left(x\right)$ dan sisa $s\left(x\right)$, maka algoritma pembagian polinomial adalah:

$f\left(x\right)=p\left(x\right)\cdot h\left(x\right)+s\left(x\right)$

Derajat atau pangkat $f\left(x\right)$ = derajat $p\left(x\right)$ + $h\left(x\right)$. Jika polinomial $f\left(x\right)$ berderajat $n$ dan pembagi $p\left(x\right)$ berderajat $m$, maka hasil baginya $h\left(x\right)$ berderajat $n-m$ dan sisanya $s\left(x\right)$ berderajat maksimum $m-1$

C. Teorema Sisa

1. Teorema Pertama
Jika polinomial $f\left(x\right)$ dibagi oleh $x-b$, maka sisanya adalah $f\left(b\right)$

2. Teorema Kedua
Jika polinomial $f\left(x\right)$ dibagi oleh $ax+b$, maka sisanya $f\left(-\frac{b}{a}\right)=c$, dimana $c$ adalah suatu konstanta.

3. Teorema Ketiga
Jika polinomial $f\left(x\right)$ dibagi oleh $\left(x-a\right)\left(x-b\right)$, maka sisanya adalah $px+q$. Nilai $p$ dan $q$ dapat dihitung dengan eliminasi pada $f\left(a\right)=ap+q$ dan $f\left(b\right)=bp+q$

D. Teorema Faktor

1. $\left(ax-b\right)$ adalah faktor dari polinomial $f\left(x\right)$, jika dan hanya jika$f\left(\frac{b}{a}\right)=0$
2. $\left(x-a\right)$ adalah faktor dari polinomial $f\left(x\right)$, jika dan hanya jika $f\left(a\right)=0$
3. Polinomial $f\left(x\right)$ habis dibagi $\left(x-a\right)$, jika dan hanya jika $f\left(a\right)=0$

Yuk, coba dikerjain soal-soal berikut. Cocokkan jawaban kalian dengan pembahasan ya!

1. Banyaknya akar real $f\left(t\right)=t^9-t$ adalah...
   
   [Mat-IPA SBMPTN 2014]

   1. 2
   2. 3
   3. 4
   4. 6
   5. 9
JAWABAN B

$$\begin{align*} f\left(t\right) &=t^9-t\\ &= t\left(t^8-1\right)\\ &= t\left(t^4+1\right)\left(t^4-1\right)\\ &= t\left(t^4+1\right)\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)\\ &= t\left(t^4+1\right)\left(t^1+1\right)\left(t+1\right)\left(t-1\right) \end{align*}$$
Jadi banyaknya akar real ada 3, yaitu 0, -1, dan 1




2. Diketahui $P\left(x\right)=ax^5+bx-1$, dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $P\left(x\right)$ dibagi dengan $\left(x-2010\right)$ bersisa 6. Jika $P\left(x\right)$ dibagi dengan $\left(x+2010\right)$ akan bersisa...
   
   [SIMAK UI 2010 IPA]

   1. -8
   2. -2
   3. -1
   4. 1
   5. 8
JAWABAN A


• $P\left(x \right)$ dibagi $\left(x-2010 \right)$ bersisa 6, maka
  $P\left(2010\right)=6$
  $a\left(2010\right)^5+2010b-1=6$
  $\left(2010\right)^5a+2010b-7=0$ .....$\left(i\right)$


• $P\left(x\right)$ dibagi $\left(x+2010\right)$ bersisa $S\left(x\right)$, maka
  $P\left(-2010\right)=S\left(x\right)$
  $a\left(-2010\right)^5+b\left(-2010\right)-1=S\left(x\right)$
  $-\left(2010\right)^5a-2010b-1=S\left(x\right)$ .....$\left(ii\right)$


Eliminasikan persamaan $\left(i\right)$ dan $\left(ii\right)$, akan diperoleh
$S\left(x\right)=-8$




3. Koefisien $x^{49}$ pada hasil perkalian
   $\left(a-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\cdots \left(x-50\right)$ adalah...
   
   [SNMPTN 2009 Matematika IPA]

   1. -49
   2. -38
   3. -1175
   4. -1275
   5. -1373
JAWABAN D

$\displaystyle \left(a-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\cdots \left(x-50\right)$
$=ax^{50}+bx^{49}+\cdots$
Koefisien $x^{49}$ adalah $b$ yang merupakan suku kedua
dari $S_n=\dfrac{n}{2}\left(U_1+U_n\right)$

$=-\dfrac{50}{2}\left(1+50\right)=-25\left(51\right)=-1275$




4. Pada pembagian polinomial
   $\displaystyle 81x^3+9x^2-9x+4$ dengan $\left(3x-p\right)$ diperoleh sisa $\left(3p^2+2\right)$. Jumlah nilai-nilai $p$ yang memenuhi adalah...
   
   [SIMAK UI 2010 IPA]

   1. 2
   2. 3
   3. 4
   4. 5
   5. 6
JAWABAN B

misalkan $f\left(x\right)=81x^3+9x^2-9x+4$.
Jika $f\left(x\right)$ dibagi dengan $\left(3x-p\right)$ diperoleh sisa $\left(3p^2+2\right)$, maka:

$\displaystyle f\left(\dfrac{p}{3}\right)=3p^3+2$ sehingga:
$\displaystyle 81\dfrac{p}{3}^3+9\dfrac{p}{3}^2-9\dfrac{p}{3}+4=3p^2+2$
$\displaystyle 3p^3+p^2-3p+4=3p^3+2$
$\displaystyle p^2-3p+2=0$
$\displaystyle \left(p-2\right)\left(p-1\right)$
$\displaystyle p=2$ dan $\displaystyle p=1$

Maka jumlah nilai-nilai $p$ adalah
$p=1+2=3$




5. Polinomial berderajat tiga $P\left(x\right)=x^3+2x^2+mx+n$ dibagi dengan $x^2-4x+3$ mempunyai sisa $3x+2$, maka nilai $n$ adalah...
   
   [Mat IPA UM UGM 2007]

   1. -20
   2. -16
   3. 10
   4. 16
   5. 20
JAWABAN E

$x^3+2x^2+mx+n=\left(x^2-4x+3\right)\left(hasil\ bagi\right)+\left(3x+2\right)$
$x^3+2x^2+mx+n=\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(hasil\ bagi\right)+\left(3x+2\right)$

untuk $x=3$:
$3^3+2\cdot 3^2+m\cdot 3+n=3\cdot 3+2$
$3m+n=-34$...... [persamaan 1]

Untuk $x=1$, maka:
$1^3+2\cdot 1^2+m\cdot 1+n=3\cdot 1+2$
$m+n=2$...... [persamaan 2]

Eliminasi dan substitusi persamaan 1 dan persamaan 2, maka akan diperoleh nilai $n$ = 20.




6. Misalkan $f\left(x\right)=\left(x-3\right)^3+\left(x-2\right)^2+\left(x-1\right)$. Sisa dari pembagian $f\left(x+2\right)$ oleh $\left(x^2-1\right)$ adalah...
   
   [SIMAK UI 2012 IPA]

   1. -2+5x
   2. -9+14x
   3. 5-2x
   4. 14-9x
   5. 11+19x
JAWABAN A

Misalkan
$f\left(x\right)=\left(x-3\right)^3+\left(x-2\right)^2+\left(x-1\right)$
$f\left(x+2\right)=\left(\left(x+2\right)-3\right)^3+\left(\left(x+2\right)-2\right)^2+\left(\left(x+2\right)-1\right)$
$f\left(x+2\right)=\left(x-1\right)^3+x^2\left(x+1\right)$


Jika $f\left(x+2\right)$ dibagi $\left(x^2-1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$, berlaku:
$\boxed{f\left(x+2\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)H\left(x\right)+\left(ax+b\right)}$
$$\begin{align*}\bullet\ Untuk\ x=1\ :\\ f\left(3\right) &=a+b\\ \left(1-1\right)^3+1^2+\left(1+1\right) &=a+b\\ 3&= a+b\cdots \cdots \cdots [1]\\ \end{align*}$$

$$\begin{align*}\bullet\ Untuk\ x=-1\ :\\ f\left(1\right) &=-a+b\\ \left(-1-1\right)^3+\left(-1^2\right)+\left(-1+1\right) &=-a+b\\ -7&= -a+b\cdots \cdots \cdots [ii]\\ \end{align*}$$

Eliminasi dan substitusi persamaan [1] dan [2] akan diperoleh nilai $a=5$ dan $b=-2$. Sehingga sisanya adalah $ax+b=5x-2$




7. Diketahui $P\left(x\right)$ suatu polinomial. Jika $P\left(x+1\right)$ dan $P\left(x-1\right)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$, maka $P\left(x\right)$ dibagi $x^2-2x$ memberikan sisa...
   
   [SBMPTN 2014 IPA]

   1. x+2
   2. 2x
   3. x
   4. 1
   5. 2
JAWABAN E


• $P\left(x+1\right)$ dibagi $\left(x-1\right)$ bersisa $2$
  $P\left(1+1\right)=2$
  $\ \rightarrow P\left(2\right)=2$


• $P\left(x-1\right)$ dibagi $\left(x-1\right)$ bersisa $2$
  $P\left(1-1\right)=2$
  $\ \rightarrow P\left(0\right)=2$


• $P\left(x\right)$ dibagi $\left(x^2-2x\right)=x\left(x-2\right)$ bersisa $ax+b$
  $P\left(0\right)=b$
  $2=b$
  $P\left(2\right)=2a+b$
  Substitusi $b=2$, maka
  $\rightarrow 2a+2=2$
  $\rightarrow a=0$
Jadi, sisanya adalah $2$




8. Suku banyak $P\left(x\right)$ dibagi $x^2-x-2$ mempunyai hasil bagi $Q\left(x\right)$ dan sisa $x+2$. Jika $Q\left(x\right)$ dibagi $x+2$ mempunyai sisa $3$, maka sisa $P\left(x\right)$ dibagi $x^2+3x+2$ adalah...
   
   [Mat-IPA UM UGM 2013]

   1. $-11x-10$
   2. $-10x-11$
   3. $11x-10$
   4. $10x+11$
   5. $11x+10$
JAWABAN A


• $Q\left(x\right)$ dibagi $x+2$ sisa $3$


• $P\left(x\right)$ dibagi $x^2-x-2=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$
  mempunyai hasil bagi $Q\left(x\right)$ dan sisa $x+2$, maka:
  $P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+1\right)Q\left(x\right)+\left(x+2\right)$
  $P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left\{\left(x+2\right)H\left(x\right)\left(3\right)\right\}\left(x+2\right)$
  Untuk $x=-1 \rightarrow P\left(-1\right)=\left(-1\right)+2=1$
  Untuk $x=-2 \rightarrow P\left(-2\right)=\left(-2-2\right)\left(-2+1\right)\left(0+3\right)+\left(-2+2\right)=12$



• $P\left(x\right)$ dibagi $x^2+3x+2=\left(x+2\right)\left(x+1\right)$ sisa $\left(ax+b\right)$
  $P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+1\right)Q\left(x\right)+\left(ax+b\right)$
  $P\left(-1\right)=-a+b\rightarrow -a+b=1$ ..... Persamaan 1
  $P\left(-2\right)=-2a+b\rightarrow -2a+b=12$ ..... Persamaan 2
  


Eliminasikan Persamaan 1 dan 2, maka akan diperoleh $a=-11$ dan $b=-10$
jadi, sisanya adalah $-11x-10$




9. Jika $f\left(x\right)=ax^3+3bx^2+\left(2a-b\right)x+4$ dibagi dengan $\left(x-1\right)$ sisanya $10$. Sedangkan jika dibagi dengan $\left(x+2\right)$ sisanya adalah $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah...
   
   [UMPTN 2005]

   1. $\frac{4}{3}$ dan $1$
   2. $\frac{4}{3}$ dan $3$
   3. $\frac{4}{3}$ dan $-1$
   4. $\frac{4}{3}$ dan $2$
   5. $-\frac{4}{3}$ dan $1$
JAWABAN A

Diketahui:
$f\left(x\right)=ax^3+3bx^2+\left(2a-b\right)x+4$

• $f\left(x\right)$ dibagi $\left(x-1\right)$ sisa 10 $\rightarrow$ $f\left(1\right)=10$
  $a\left(1\right)^3+3b\left(1\right)^2+\left(2a-b\right)\left(1\right)+4=10$
  $3a+2b=6$ ..... Persamaan 1


• $f\left(x\right)$ dibagi $\left(x+2\right)$ sisa 2 $\rightarrow$ $f\left(-2\right)=2$
  $a\left(-2\right)^3+3b\left(-2\right)^2+\left(2a-b\right)\left(-2\right)+4=2$
  $-12a+14b=-2$
  $6a-7b=1$ ..... Persamaan 2


Eliminasikan persamaan 1 dan 2, maka akan diperoleh nilai
$a=\dfrac{4}{3}$ dan $b=1$




10. Jika polinomial $f\left(x\right)=2x^3-x^2+6x-1$ dibagi $2x-1$, maka sisanya adalah...
    
    [SNMPTN 2021 IPA]

    1. -10
    2. -1
    3. 1
    4. 2
    5. 23
JAWABAN D

$2x-1=0\rightarrow\ \ x=\dfrac{1}{2}$

Sisa pembagian $2x^3-x^2+6x-1$ oleh $2x-1$ dapat dicari dengan mensubstitusi nilai $x=\dfrac{1}{2}$ ke $f\left(x\right)$
$f\left(\frac{1}{2}\right)=2\left(\frac{1}{2}\right)^3-\left(\frac{1}{2}\right)^2+6\left(\frac{1}{2}\right)-1$
$f\left(\frac{1}{2}\right)=2$

Jadi, sisa dari polinomial tersebut adalah $2$

Demikian tadi materi, rumus, soal-soal SBMPTN, dan pembahasan. Mudah-mudahan dengan mempelajari dari website bimbelan.com dapat mempermudah kamu dalam memahami materi pelajaran. Semoga apa yang kamu cita-citakan dapat tercapai tahun ini. Semoga juga kamu dapat diterima di universitas ternama yang kamu idam-idamkan.

Kunjungi soal-soal SBMPTN kami lainnya disini

Related Posts