PERSAMAAN DIOPHANTINE - Kikiholmes

Jika kita memiliki persamaan linear dua variabel, maka akan tercetus dalam kepala kita seorang tokoh matematikawan. Ya, kamu benar. Dia adalah Diophantus. Ia dikenal sebagai "Bapak Aljabar", karena Diophantus-lah yang pertama kali mempelajari dan menghabiskan hidupnya untuk belajar persamaan aljabar.

Diophantus adalah ahli matematika dari Alexandria, Yunani. Dilahirkan disuatu tempat antara 200 dan 214 BC. Alexandria adalah pusat dari pengetahuan dan budaya Yunani dan diophantus ada dimasa ‘silver age’ dari Alexandria.

Diophantus banyak menulis buku semasa hidupnya dan salah satu karyanya yang sangat terkenal adalah Arithmetica yang terdiri dari 13 jilid. Namun beberapa jilid diantaranya terbakar musnah ketika museum dan perpustakaan besarnya terbakar pada abad ke 4 dan ke 7.

Arithmetica adalah sebuah pembahasan analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai Diophantine Equation.

Persamaan Diophantine adalah suatu persamaan dengan koefisien bilangan bulat dan solusi yang dikehendaki juga bilangan bulat.

Persamaan Diophantine tidak harus berupa linear, namuan dapat berupa persamaan kuadrat atau polinomial. Apapun itu bentuk persamaannya, yang penting adalah harus mempunyai solusi bilangan bulat.

Bentuk paling sederhana dari persamaan Diophantine adalah $ax+by=c$ dengan $a,b,c$ bilangan bulat. Seperti apa persamaan dan cara penyelesaiannya? Mari kita scroll ke bawah.

Persamaan Diophantine

Seperti inilah bunyi teorema Diophantine yang akan kita bahas.

Suatu persamaan linear Diophantine $\small ax+by=c$ dengan $a,b,c \in Z$ akan memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika $\small FPB \left(a,b\right)$ membagi habis $\small c$.

Teorema Diophantine

Ingat, dalam persamaan ini kita harus mendapatkan solusi berupa bilangan bulat. Sebenarnya bisa kita mengerjakan dengan cara mencoba substitusi variabel x atau y dengan bilangan bulat. Namun kita coba dengan prosedur yang sebenarnya.
Contoh soal sebagai berikut

1. Tentukan penyelesaian persamaan
   $xy+2x+2y=100$
   jika $x,y$ bilangan bulat.


$$\begin{align*} & xy+2x+2y=100\\ & xy+2x=-2y+100\\ & x\left(y+2\right)=2y+100\\ & x=\dfrac{-2y+100}{y+2}\\ & x=\dfrac{-2\left(y+2\right)+104}{y+2}\\ & x=-2+\dfrac{104}{y+2}\\ \end{align*}$$ Agar menghasilkan solusi berupa bilangan bulat, maka $y+2$ harus merupakan faktor-faktor dari 104.

Adapun faktor-faktor dari $104$ adalah $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm 8$, $\pm 13$, $\pm 26$, $\pm 52$, $\pm 104$.
Jadi total ada 16 nilai $y$, berarti terdapat 16 nilai $x$. Mari kita cari satu per satu

$$\small \begin{align*} & \text{Untuk }y+2=1, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{1}\\ & x=-2+104\\ & x=102\\ \\ & \text{Untuk }y+2=-1, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{-1}\\ & x=-2-104\\ & x=-106\\ \\ & \text{Untuk }y+2=2, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{2}\\ & x=-2+52\\ & x=50\\ \\ & \text{Untuk }y+2=-2, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{-2}\\ & x=-2-52\\ & x=-54\\ \\ & \text{Untuk }y+2=4, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{4}\\ & x=-2+26\\ & x=24\\ \\ & \text{Untuk }y+2=-4, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{-4}\\ & x=-2-26\\ & x=-28\\ \\ & \text{Untuk }y+2=8, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{8}\\ & x=-2+13\\ & x=11\\ \\ & \text{Untuk }y+2=-8, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{-8}\\ & x=-2-13\\ & x=-15\\ \\ & \text{Untuk }y+2=13, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{13}\\ & x=-2+8\\ & x=6\\ \\ & \text{Untuk }y+2=-13, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{-13}\\ & x=-2-8\\ & x=-10\\ \\ & \text{Untuk }y+2=26, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{26}\\ & x=-2+4\\ & x=2\\ \\ & \text{Untuk }y+2=-26, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{-26}\\ & x=-2-4\\ & x=-6\\ \\ & \text{Untuk }y+2=52, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{52}\\ & x=-2+2\\ & x=0\\ \\ & \text{Untuk }y+2=-52, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{-52}\\ & x=-2-2\\ & x=-4\\ \\ & \text{Untuk }y+2=104, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{104}\\ & x=-2+1\\ & x=-1\\ \\ & \text{Untuk }y+2=-104, \text{ maka }\\ & x=-2+\dfrac{104}{-104}\\ & x=-2+-1\\ & x=-3\\ \\ \end{align*}$$




2. Tentukan semua penyelesaian dari persamaan
   $3x+12y=100$
   jika $x,y$ bilangan bulat.


Ingat kembali teorema Diophantine, bahwa variabel $a$ dan $b$ harus dapat membagi habis $c$. Maka kita cek terlebih dahulu ruas kiri dan ruas kanan.
Untuk ruas kiri:
$3x+12y$ habis dibagi 3.

Untuk ruas kanan:
100 dibagi 3 akan tersisa 1.

Maka, tidak ada penyelesaian bilangan bulat.




3. Tentukan semua penyelesaian $\left(x,y\right)$ untuk $x, y$ bilangan asli dari persamaan $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$

$$\small \begin{align*} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\\ & \dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{4}\\ & xy=4x+4y\\ & xy-4x=4y\\ & x\left(y-4\right)=4y\\ & x=\dfrac{4y}{y-4}\\ & x=\dfrac{4\left(y-4\right)+16}{y-4}\\ & x=\dfrac{16}{y-4}+4\\ \\ \\ & \text{maka, }$ y-4 \text{ adalah faktor positif dari 16}\\ & \text{Faktor-faktor dari 16 }= 1, 2, 4, 8, 16.\\ & y-4=1, 2, 4, 8, 16.\\ & \text{Diperoleh }y=5, 6, 8, 12, 20.\\ \\ \\ & \text{Jika }y=5,\text{ maka }\\ & x=\dfrac{16}{5-4}+4=20\\ \\ & \text{Jika }y=6,\text{ maka }\\ & x=\dfrac{16}{6-4}+4=12\\ \\ & \text{Jika }y=8,\text{ maka }\\ & x=\dfrac{16}{8-4}+4=8\\ \\ & \text{Jika }y=12,\text{ maka }\\ & x=\dfrac{16}{12-4}+4=6\\ \\ & \text{Jika }y=20,\text{ maka }\\ & x=\dfrac{16}{20-4}+4=5\\ \\ \text{Penyelesaian } \left(20, 5\right), \left(12, 6\right), \left(8, 8\right), \left(6, 12\right), \left(5, 20\right). \end{align*}$$




4. Carilah penyelesaian bilangan asli $\left(x, y\right)$ sehingga
   $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{8}{23}$

Dimisalkan $x=y$, maka
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{8}{23}$
$\dfrac{2}{x}=\dfrac{8}{23}$
$2\cdot 23=8\cdot x$
$x=\dfrac{23\cdot 2}{8}$
Diperoleh nilai $x$ adalah suatu pecahan.

Kita coba dengan cara lain, yaitu $y=23x$, maka
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{23x}=\dfrac{8}{23}$
$\dfrac{24}{23x}=\dfrac{8}{23}$
$\dfrac{24}{8}=\dfrac{23x}{23}$
$x=3$ dan nilai $y$ adalah
$y=23\cdot3=69$

Penyelesaian $\left(3, 69\right)$ dan $\left(69, 3\right)$




5. Jika $\small x,y$ bilangan asli, tentukan semua penyelesaian dari $\small x^2-y^2=75$

$\small x^2-y^2=75$
$\small \left(x-y\right)\left(x+y\right)=75$
Faktor dari 75 adalah sebagai berikut
$\small 75=75\times 1$
$\small 75=25\times 3$
$\small 75=15\times 5$


Untuk $\small 75=75\times 1$
$\small \left(x-y\right)\left(x+y\right)=75\times 1$
$\small \left(x-y\right)=75$ dan $\small \left(x+y\righ)=1$

Demikian tadi beberapa soal persamaan Diophantine yang dapat saya jabarkan. Silahkan berkomentar dengan baik dan sopan. Soal-soal tersebut akan terus saya update, jadi pantengin terus blog ini ya.

Related Posts