PEMBAHASAN UJIAN SEKOLAH MATEMATIKA WAJIB 2021/2022 [NOMOR 11-20] - Kikiholmes

Gambar oleh Mario Aranda dari Pixabay

PEMBAHASAN SOAL UJIAN SEKOLAH SMA MATEMATIKA WAJIB TAHUN PELAJARAN 2021/2022 NOMOR 11-20

Pembahasan ujian sekolah mata pelajaran matematika wajib kelas 12 SMA tahun pelajaran 2021/2022.

Ujian Sekolah baru saja berakhir. Untuk kamu yang sudah melaluinya, saya mengucapkan selamat dan semoga hasilnya sesuai dengan yang diinginkan. Fokusmu sekarang adalah UTBK. Namun jika kamu merasa penasaran dengan jawabanmu kemarin,silahkan scroll ke bawah, karena kali ini saya membahas soal Ujian Sekolah yang baru saja kamu jalani.

Jika kamu adalah siswa kelas 12 tahun pelajaran 2022-2022, maka pembahasan soal Ujian Sekolah SMA Matematika Wajib 2021-2022 akan sangat bermanfaat, sebagai persiapan untuk menghadapi Ujian Sekolah 2022-2023. Berikut adalah 10 soal kedua [nomor 11 sampai 20] beserta pembahasan Ujian Sekolah Matematika Wajib

11. Ibu Dahara seorang staff keuangan PT. Sukses, menyatakan bahwa pendapatan total perusahaan dapat dinyatakan dengan $P=250+200q-q^2$. Dengan $P$ adalah pendapatan total [dalam puluhan ribu rupiah] dan $q$ adalah jumlah barang yang diproduksi. Total pendapatan perusahaan adalah...

    1. Rp 100.250.000,00
    2. Rp 102.500.000,00
    3. Rp 125.000.000,00
    4. Rp 150.000.000,00
    5. Rp 150.250.000,00


JAWABAN B

$$\small \begin{align*} & P=250+200q-q^2\\ & P'=200-2q\\ \\ \\ & \text{P akan maksimum saat }P'=0\\ & \text{Maka }\\ & P'=0\\ & 200-2q=0\\ & 200=2q\\ & \dfrac{200}{2}=q\\ & 100=q\\ \\ \\ & \text{Pendapatan perusahaan }\\ & P=250+200q-q^2\\ & P=250+200\times 100-100^2\\ & P=250+20000-10000\\ & P=10250 \left(\text{dalam puluhan ribu}\right) \end{align*}$$

---




12. Diketahui fungsi $f\left(x\right)=2x$ dan $g\left(x\right)=\frac{x}{2x-1}$, untuk $\neq\frac{1}{2}$. Apabila $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)$ merupakan invers dari $\left(g\circ f\right),$ maka rumus dari $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)$ adalah...

    1. $\frac{2x}{x-1}$, untuk $x\neq 1$
    2. $\frac{-2x}{x-1}$, untuk $x\neq 1$
    3. $\frac{-2x}{4x-2}$, untuk $x\neq \frac{1}{2}$
    4. $\frac{-x}{4x-2}$, untuk $x\neq \frac{1}{2}$
    5. $\frac{x}{4x-2}$, untuk $x\neq \frac{1}{2}$


JAWABAN B

$$\small \begin{align*} & \left(g\circ f\right)(x)=g\left(f\left(x\right)\right)\\ & \left(g\circ f\right)(x)=g\left(2x\right)\\ & \left(g\circ f\right)(x)=\dfrac{2x}{2\left(2x\right)-1}\\ & \left(g\circ f\right)(x)=\dfrac{2x}{4x-1}\\ \\ \\ &\text{Untuk menentukan invers, }\\ & \text{kita misalkan persamaan diatas dengan }y\\ \\ & y=\dfrac{2x}{4x-1}\\ & y\left(4x-1\right)=2x\\ & 4xy-y=2x\\ & 4xy-2x=y\\ & x\left(4y-2\right)=y\\ & x=\dfrac{y}{4y-2}\\ \\ & \text{Jika sudah menyisakan x di ruas kiri, }\\ & \text{artinya tahap penginversan sudah selesai}.\\ & \text{Ubah variabel y menjadi x}\\ & \left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)=\dfrac{x}{4x-2} \end{align*}$$

---




13. Diketahui $\small f\left(x\right)=x+2 $ dan $\small g\left(x\right)=\frac{px+1}{3x}$. Jika $\small \left(f\circ g\right)^{-1}\left(5\right)=\frac{1}{5}$, nilai $\small p$ yang memenuhi adalah...

    1. $\small -19$
    2. $\small -9$
    3. $\small \frac{1}{9}$
    4. $\small 9$
    5. $\small 14$


JAWABAN
Pada soal kali ini, saya memperoleh jawaban yang tidak ada di pilihan ganda. Silahkan dikoreksi ulang jika terdapat kesalahan di bagian ini. Silakan tulis di komentar.
$$\small \begin{align*} & \left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right) \right)\\ & \left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\dfrac{px+1}{3x} \right)\\ & \left(f\circ g\right)\left(x\right)=\dfrac{px+1}{3x} +2\\ \\ & \text{Samakan penyebutnya }\\ & \left(f\circ g\right)\left(x\right)=\dfrac{px+1}{3x} +2\dfrac{3x}{3x}\\ & \left(f\circ g\right)\left(x\right)=\dfrac{px+1}{3x} +\dfrac{6x}{3x}\\ & \left(f\circ g\right)\left(x\right)=\dfrac{6x+px+1}{3x}\\ & \left(f\circ g\right)\left(x\right)=\dfrac{\left(6+p\right)x+1}{3x}\\ \\ \\ & \text{Untuk menentukan invers,}\\ &\text{dapat menggunakan rumus cepat berikut }\\ & \boxed{ \left(f\circ g\right)\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow \left(f\circ g\right)\left(x\right)^{-1}=\dfrac{-dx+b}{cx-a}}\\ \\ & \left(f\circ g\right)\left(x\right)=\dfrac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow \dfrac{\left(6+p\right)x+1}{3x+0}\\ \\ & \text{Artinya, nilai } a=6+p;\ \ b=1;\ \ c=3;\ \ d=0\\ & \text{Maka, inversnya}\\ & \left(f\circ g\right)\left(x\right)^{-1}=\dfrac{-dx+b}{cx-a}=\dfrac{0x+1}{3x-\left(6+p\right)}\\ & \dfrac{1}{5}=\dfrac{0+1}{3\times 5-\left(6+p\right)}\\ & \dfrac{1}{5}=\dfrac{0+1}{15-6-p}\\ & \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{9-p}\\ \\ & \text{Kalikan silang}\\ & 1\times 9-p=5\times 1\\ & 9-p=5\\ & 9-5=p\\ & 4=p \end{align*}$$
Jadi, jawabannya adalah p= 4

---




14. Sepuluh tahun yang lalu umur Bu Fitri sama dengan delapan kali umur Nia ditambah tiga. Tiga tahun yang akan datang, dua kali umur Bu Fitri sama dengan enam kali umur Nia ditambah empat. Maka jumlah umur mereka sekarang adalah...

    1. 39 tahun
    2. 45 tahun
    3. 49 tahun
    4. 54 tahun
    5. 68 tahun


JAWABAN B
Misalkan
Umur Bu Fitri $\small = F$
umur Nia $\small = N$

Maka kalimat matematika berupa berikut.
Sepuluh tahun yang lalu umur Bu Fitri sama dengan delapan kali umur Nia ditambah tiga :
$\small F-10=8\left(N-10\right)+3\Rightarrow $ Persamaan 1

Tiga tahun yang akan datang, dua kali umur Bu Fitri sama dengan enam kali umur Nia ditambah 4:
$\small 2\left(F+3\right)=6\left(N+3\right)+4\Rightarrow $ Persamaan 2 $$\small \begin{align*} & \text{Sederhanakan persamaan 1}\\ & F-10=8\left(N-10\right)+3\\ & F-10=8N-80+3\\ & F-10=8N-77\\ & F-8B=-77+10\\ & F-8N=-67\ \ \ \ \ \ \ \ \left(1\right)\\ \\ & \text{Sederhanakan persamaan 1}\\ & 2\left(F+3\right)=6\left(N+3\right)+4\\ & 2F+6=6N+18+4\\ & 2F+6-6N=22\\ & 2F-6N=22-6\\ & 2F-6N =16\ \ \ \ \ \ \text{kedua ruas dibagi 2}\\ & F-3N=8\ \ \ \ \ \ \ \left(2\right)\\ \\ \\ & \text{Eliminasikan persamaan 1 dan 2}\\ & \text{dengan cara pengurangan.}\\ & \text{Sehingga, }\\ \\ & F-8N=-67\\ & \underline{F-3N=8\ \ \ \ \ \ \ \ } -\\ & -5N=-75\\ & N=\dfrac{-75}{-5}\\ & \text{ }N=15\\ & \text{Maka umur Nia }15 \text{ tahun.}\\ \\ & \text{Umur Bu Fitri:}\\ & \text{substitusi }N=15 \text{ ke persamaan 2}\\ & F-3N=8\\ & F-3\left(15\right)=8\\ & F-45=8\\ & F=8+45\\ & F=53\\ \\ \\ & \text{Jumlah umur mereka sekarang:}\\ & =F+N\\ & =53+15\\ & =68 \text{ tahun} \end{align*}$$


---




15. Sebuah tiang yang panjangnya $\small 6 m$ bersandar pada dinding sebuah rumah. Jika tinggi dinding tersebut $\small 3\sqrt{3} m$, maka sudut yang dibentuk antara tiang dengan lantai adalah...

    1. $\small 30^o$
    2. $\small 45^o$
    3. $\small 60^o$
    4. $\small 90^o$
    5. $\small 120^o$


JAWABAN C
Soal tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut.




Jika ditinjau dari sudut $\alpha$, maka panjang dinding $\small 3\sqrt{3}$ merupakan sisi depan segitiga, dan panjang tiang $\small 6 m$ sebagai sisi miring. Perbandingan trigonometri yang menggunakan sisi depan dan sisi miring adalah sinus

$\small \sin \alpha =\dfrac{3\sqrt{3}}{6}$
$\small \sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Nilai sinus sudut yang menghasilkan $\small \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ adalah $\small 60^o$

---




16. Diketahui seseorang yang berada di atas gedung dengan ketinggian $\small 60\sqrt{3}$ meter sedang mengamati sebuah objek di bawahnya dengan jarak antara objek dan gedung sejauh $\small 180$ meter. Sudut depresi yang terbentuk adalah...

    1. $\small 30^o$
    2. $\small 45^o$
    3. $\small 60^o$
    4. $\small 90^o$
    5. $\small 120^o$


JAWABAN A

Perlu diketahui bahwa, sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah atas. Sedangkan sudut depresi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah bawah. Perhatikan gambar berikut.




Jika soal cerita kita ubah menjadi gambar, maka akan menjadi sebagai berikut.




Ingat, yang ditanyakan pada soal adalah sudut depresi, atau sudut $\small \beta$ pada ilustrasi di atas. Dan sudut $\small \alpha + \beta =90^o$. Kita perlu mencari sudut $\small \alpha $ terlebih dahulu. Perhatikan gambar berikut.



Karena diketahui sisi depan dan samping, maka kita akan menggunakan tangen.
$\small \tan \alpha =\dfrac{\text{depan}}{\text{samping}}$
$\small \tan \alpha=\dfrac{180}{60\sqrt{3}}$
$\small \tan \alpha=\dfrac{3}{\sqrt{3}}$
Rasionalkan,
$\small \tan \alpha=\dfrac{3}{\sqrt{3}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$\small \tan \alpha =\sqrt{3}$
$\small \alpha=60^o$

Maka,
$\small \alpha + \beta =90^o$
$\small 60^o + \beta =90^o$
$\small \alpha + \beta =90^o$
$\small \beta =30^o$

Jadi, sudut depresinya adalah $\small 30^o$

---




17. Rio melihat puncak menara dengan sudut elevasi $\small 30^o$, Jika jarak antara Rio dan menara yang dilihatnya adalah $\small 180$ m dan tinggi Rio $\small 120$ m, maka tinggi menara tersebut adalah...

    1. $\small \left(50\sqrt{3}+1,2 \right)$ m
    2. $\small \left(60\sqrt{3}+1,2 \right)$ m
    3. $\small \left(70\sqrt{3}+1,2 \right)$ m
    4. $\small \left(80\sqrt{3}+1,2 \right)$ m
    5. $\small \left(90\sqrt{3}+1,2 \right)$ m


JAWABAN B

Soal cerita di atas dapat kita ubah menjadi ilustrasi berikut.




Dapat kamu lihat bahwa, tinggi menara nanti harus dijumlahkan dengan tinggi Rio. Dan perbandingan trigonometri yang kita gunakan adalah $\small \tan$. Maka,
$\small \tan \alpha=\dfrac{\text{depan}}{\text{samping}}$
$\small \tan 30^o=\dfrac{x}{180}$
$\small \dfrac{1}{3}\sqrt{3}=\dfrac{x}{180}$
$\small \dfrac{180 \times \sqrt{3}}{3}=x$
$\small 60\sqrt{3}=x$

Sehingga, tinggi menara, $\small =\left(60\sqrt{3}+1,2 \right)$ m


---




18. nilai dari $\small 2\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}$ adalah...

    1. $\small \dfrac{1}{2}$
    2. $\small 1\dfrac{1}{2}$
    3. $\small 2\dfrac{1}{2}$
    4. $\small 3\dfrac{1}{2}$
    5. $\small 4\dfrac{1}{2}$


JAWABAN A

Rumus trigonometri yang digunakan pada soal ini adalah Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

• $\small 2\sin a \cos b= \sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)$
• $\small 2\cos a \sin b= \sin \left(a+b\right)-\sin \left(a-b\right)$
• $\small 2\cos a \cos b= \cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)$
• $\small -2\sin a \sin b= \cos \left(a+b\right)-\cos \left(a-b\right)$


Bila kita perhatikan soal, yaitu
$\small 2\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}$, maka
rumus yang digunakan adalah rumus ketiga.

$$\small \begin{align*} & 2\cos a \cos b= \cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\\ & 2\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}= \cos \left(75^{\circ}+\cos 15^{\circ}\right)+\cos \left(75^{\circ}-\cos 15^{\circ}\right)\\ & 2\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}= \cos \left(90^{\circ}\right)+\cos \left(60^{\circ}\right)\\ & 2\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}=0+\dfrac{1}{2}\\ & 2\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}=\dfrac{1}{2} \end{align*}$$

Maka, jawaban yang tepat adalah A

---




19. jika diketahui $\small \angle A$ berada dikuadran II dan $\small \sin A=\dfrac{15}{17}$, maka nilai $\small \cos A$ adalah...

    1. $\small \dfrac{-5}{17}$
    2. $\small \dfrac{-6}{17}$
    3. $\small \dfrac{-7}{17}$
    4. $\small \dfrac{-8}{17}$
    5. $\small \dfrac{-9}{17}$


JAWABAN D

Terdapat beberapa informasi yang perlu kita perhatikan.
1. Sudut A berada di kuadran II, artinya $\small 90^o < A < 180^o $.
   Pada kuadran II, nilai trigonometri yang positif adalah $\small \sin$ dan $\small \csc$. Artinya nilai trigonometri selain itu adalah negatif.
   Yang ditanyakan di soal adalah nilai $\small \cos$, maka nanti hasilnya adalah negatif.


2. Diketahui dari soal bahwa nilai $\small \sin A=\dfrac{15}{17}$. Apakah kamu masih ingat perbandingan sisi untuk $\small \sin$? Perhatikan rumus berikut jika kamu masih melupakannya.
   
   $\small \sin A=\dfrac{\text{depan}}{\text{miring}}$
   $\small \cos A=\dfrac{\text{samping}}{\text{miring}}$
   $\small \tan A=\dfrac{\text{depan}}{\text{samping}}$
   


3. Yuk mulai pengerjaan soalnya. Saya tampilkan gambarnya sebagai berikut.
   
   
   
   Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita menentukan sisi samping.
   $$\small \begin{align*} & \text{samping}^2 = \text{miring}^2-\text{depan}^2\\ & \text{samping}^2 = 17^2-15^2\\ & \text{samping}^2 = 289-225\\ & \text{samping} = \sqrt{64}\\ & \text{samping} = 8 \end{align*}$$
   Diperoleh sisi samping $\small 8$.


4. Selanjutnya kita menentukan nilai $\small \cos$
   
   
   
   Berdasarkan gambar, maka
   $\small \cos A=\dfrac{\text{samping}}{\text{miring}}$
   $\small \cos A=\dfrac{8}{17}$
   
   Karena pada kuadran II nilai $\small \cos$ negatif maka hasil akhirnya adalah
   $\small \cos A=\dfrac{-8}{17}$

---




20. Dalam segitiga ABC, diketahui besar $\small \angle A=45^o$ dan besar $\small \angle B=60^o$. Perbandingan panjang sisi $\small BC$ dan $\small AC$ adalah...

    1. $\small 3:4$
    2. $\small 4:3$
    3. $\small \sqrt{2}:\sqrt{3}$
    4. $\small 2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
    5. $\small \sqrt{2}:2\sqrt{3}$


JAWABAN C

Materi pada soal nomor 20 ini adalah Aturan Sinus dan Kosinus. Jika diketahui segitiga sembarang ABC, maka berlaku:




Karena diketahui $\small \angle A$ dan $\small \angle B$, maka kita cukup menggunakan rumus aturan sinus yang ada sudut A dan sudut B.
Jika soal kita ubah ke dalam bentuk gambar segitiga, maka akan menjadi berikut.


$$\small \begin{align*} & \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\\ & \dfrac{BC}{\sin 45^o}=\dfrac{AC}{\sin 60^o}\\ & \dfrac{BC}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}=\dfrac{AC}{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}\\ & \dfrac{BC}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{AC}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\ \\ & \text{kalikan silang}\\ & \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\ & \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ & \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & \end{align*}$$ Diperoleh $\small BC=\sqrt{2} \text{ dan } AC=\sqrt{3}$

---

Demikian PEMBAHASAN SOAL UJIAN SEKOLAH SMA MATEMATIKA WAJIB TAHUN PELAJARAN 2021/2022 NOMOR 11-20. Silahkan berkomentar jika kamu menemukan kesalahan hitung atau jika kamu memiliki cara lain yang lebih simple. Untuk soal nomor 21-30 mohon tunggu. Stay terus di web ini untuk mendapatkan update soal-soal lainnya. Semoga sukses!

Related Posts