THE MOVING SOFA PROBLEM - Kikiholmes

Hmm, okay.

Buat kamu yang lagi baca postingan ini sambil duduk manis di sofa ruang tamu atau di ruang keluarga. Pernahkah terpikir olehmu bahwa sofa empuk yang kamu sedang duduki itu mengundang masalah dalam dunia matematika? Bahkan sampai saat kamu membaca postingan ini pun penyelesaian masalahnya masih sangat terbuka.

Ya, problem-nya mengenai memindahkan sofa.

The Moving Sofa Problem

Semua Berawal dari Beliau, Leo Moser.

Leo Moser [11 April 1921 - 9 Februari 1970] adalah seorang matematikawan berkebangsaan Austria-Kanada. Leo Moser mengajar di Universitas Alberta di Kanada. Ia cukup banyak berperan dalam bidang geometri matematika

Pada tahun 1966, Moser mengajukan sebuah masalah matematika sederhana. Permasalahan ini dikenal sebagai The Moving Sofa Problem. Seperti apakah itu?

"What is the shape of largest area in the plane that can be moved around a right-angled corner in a two-dimensional hallway of width 1?"

Okelah saya bantu terjemahkan. Artinya adalah "apa bentuk area terbesar pada bidang yang dapat dipindahkan di sekitar sudut siku-siku di lorong dua dimensi dengan lebar 1?".

Tampak simpel, karena yang ditanyakan adalah "bentuk sofa". Tapi, apa iya sesimpel itu? Nyatanya, sampai saat ini belum ada jawaban pasti mengenai masalah ini. Yuk kita ulas bersama-sama.

A Square Sofa

Oke, kita mulai dari bentuk "sofa" persegi, dengan panjang sisi-sisinya adalah 1. Perhatikan gambar berikut.

Sofa Persegi

Kemudian sofa persegi ini dipindahkan mengikuti lorong yang berbelok $90^o$. Perhatikan peragaan di bawah ini.

Pergerakan Sofa Persegi

Apakah ada bentuk sofa yang luasnya lebih dari 1 satuan? Tentu ada. Nah, disinilah hal menariknya muncul.

---

A Semicircular Sofa

Sofa berikutnya berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Perhatikan gambar di bawah ini.

Sofa Setengah Lingkaran

Sekarang kita hitung luas setengah lingkaran tersebut.
$$\begin{align*} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \pi\cdot \text{r}^2\\ & =\frac{1}{2} \times {\pi}\cdot {1^2}\\ & = \frac{\pi}{2}\\ & =\frac{3,14...}{2}\\ & = 1,57... \end{align*}$$
Kita peroleh luasnya adalah $1,57$ dan ini lebih besar dari luas sofa persegi tadi. Perhatikan peragaan berikut.

Pergerakan Sofa Setengah Lingkaran

---

A Hammersley's Sofa

John Michael Hammersley

Seiring berjalannya waktu, The Moving Sofa Problem semakin terkenal dikalangan matematikawan. Bentuk-bentuk sofa juga mengalami perkembangan. Pada tahun 1968, seorang matematikawan asal Inggris yang juga peraih penghargaan Polya yaitu John Hammersley, mengajukan sebuah bentuk sofa baru. Sofa ini dinamakan "Hammersley's Sofa". Ada juga yang menyebutnya sebagai "The Shephard Piano". Seperti apa bentuknya? Perhatikan gambar berikut.

Sofa Hammersley

Bentuk sofa Hammersley mengejutkan banyak matematikawan dan dinilai out of the box karena bentuknya tidak umum seperti bentuk bangun datar yang biasa kita lihat di buku-buku pelajaran.

Pergerakan Sofa Hammersley

Lantas, bagaimana dengan luasnya? Apakah lebih besar atau tidak?

Pembagian Sofa Hammersley

Kita akan menghitung luas sofa Hammersley. Bentuk sofa kita bagi menjadi 3 bagian yaitu $A$, $B$, dan $C$. Bangun $A$ dan $C$ identik, jadi cukup kita cari satu saja. Kita misalkan $R$ sebagai jari-jari besar, dan $r$ sebagai jari-jari kecil.

Bangun $A$ berbentuk seperempat lingkaran dengan $R=1$, maka:
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \text{R}^2\\ & = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 1^2\\ & =\frac {\pi}{4} \end{align*}$$
Karena $A=C$, maka luas $A$ dan $C$:
$$\begin{align*} A+C &=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\\ A+C &= \frac{\pi}{2} \end{align*}$$
Selanjutnya mencari luas $B$ [yang diarsir], dengan cara mencari luas segiempat yang ditengah kemudian dikurangkan dengan luas $D$. Maka:
$$\begin{align*} \text{Luas Segiempat } & =R \cdot 2r\\ & = 1 \cdot 2r\\ & = 2r \end{align*}$$
Selanjutnya kita cari luas $D$ yang merupakan setengah lingkaran berjari-jari $r$, caranya:
$$\begin{align*} \text{Luas D} & =\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot r^2\\ & = \frac{\pi r^2}{2} \end{align*}$$
Maka Luas $B$ adalah:
$$\begin{align*} B &= 2r-\frac{\pi\ r^2}{2} \end{align*}$$
Agar luas $B$ maksimum, maka turunannya harus sama dengan nol.
$$\begin{align*} B &= 2r-\frac{\pi \ r^2}{2}\\ B' &= 2 - \frac{2 \pi \ r}{2}\\ 0 &= 2-\pi \ r\\ -2 &= -\pi \ r\\ r &= \frac{2}{\pi} \end{align*}$$
Diperoleh $\displaystyle r = \frac{2}{\pi}$. Maka luas B adalah:
$$\begin{align*} B &= 2r-\frac{\pi\ r^2}{2}\\ B &= 2\cdot \frac{2}{\pi} -\frac{\pi \cdot \left( \frac{2}{\pi }\right)^2}{2}\\ B &= \frac{4}{\pi} - \frac{\frac{4}{\pi}}{2}\\ B &= \frac{4}{\pi} -\frac{4}{\pi}\cdot \frac{1}{2}\\ B &= \frac{4}{\pi} - \frac{2}{\pi}\\ B &= \frac{2}{\pi} \end{align*}$$
Sampailah kita pada hitungan akhirnya, yaitu $A+C+B$. Hasilnya
$$\begin{align*} & =\frac{\pi}{2} + \frac{2}{\pi}\\ & = \frac{3,14}{2} + \frac{2}{3,14}\\ & = 2,207... \end{align*}$$
Hasilnya lebih besar daripada sofa setengah lingkaran.

---

A Gerver's Sofa

Pada tahun 1992, Joseph L Gerver menyempurnakan bentuk sofa Hammersley. Pada bagian ujung sofa Gerver diperhalus dengan maksud agar bisa memberikan luas area yang lebih di bagian lain.

Sofa Gerver, Mirip Punya Hammersley

Pergerakan Sofa Gerver

Bagaimana dengan luasnya? Perhatikan gambar berikut.

Pembagian 18 Daerah Sofa Gerver

Gerver membagi sofanya menjadi 18 bagian, menghitungnya menggunakan integral luas daerah dan kemudian menjumlahkannya. Hasil perhitungannya adalah $2,219..$. Sedikit lebih besar daripada sofa Hammersley. Sayang sekali saya belum mampu menjelaskan secara detail perhitungannya, karena sangat rumit. Kamu dapat melihat perhitungan Gerver disini.

Puyeng ya?!

---

A Romik's Sofa

Dan Romik

Pada tanggal 2 Januari 2019, seorang profesor dari Universitas California yang bernama Dan Romik, membuat suatu alternatif masalah. Romik mengemukakan suatu masalah dimana sofa berbelok ke kanan kemudian ke kiri. Luas sofa buatannya adalah $1,64495$. Romik menamai sofa hasil pemikirannya itu "Ambidextrous Sofa".

Sofa Romik

Peragaan Sofa Romik

Ya, sofa Romik memang tidak lebih besar dari Hammersley. Tetapi Romik mampu membuat tantangan baru dan bahkan memberikan jawabannya.

Seperti itulah matematika. Tidak semuanya berkaitan dengan rumus yang abstrak nan memusingkan. Ada kalanya hal-hal unik terlahir hanya dari rasa ingin tahu saja. Seperti masalah sofa ini, sampai sekarang masih sangat terbuka untuk ide-ide baru.

Bisa jadi, orang berikutnya yang ikut serta menjawab masalah ini adalah kamu.

Related Posts