BILANGAN PRIMA MERSENNE - Kikiholmes

Daftar isi

• 1 Sejarah Mersenne Prime
• 2 Mersenne Prime dan Perfect Number
• 3 Pencarian Mersenne Prime

Sejarah Mersenne Prime

Matematikawan kuno dahulu mendefinisikan bilangan prima sebagai bilangan yang dihasilkan oleh rumus $2^n-1$. Pada awalnya semua mempercayai rumus tersebut. Hingga pada tahun 1536, Hudalricus Regius menunjukkan bahwa untuk $n=11$, maka akan menghasilkan $2^{11}-1=2047$. Bilangan $2047$ itu sendiri bukanlah prima, karena $2047$ dapat diperoleh dari hasil perkalian $23\times 89$.

Puluhan tahun berikutnya [tepatnya pada tahun 1603], seorang matematikawan asal kota Bologna, Italia, yaitu Pietro Cataldi, menyatakan bahwa $2^{17}-1$ dan $2^{19}-1$ juga menghasilkan bilangan prima. Cataldi juga mengemukakan untuk $n = 23, 29, 31, 37$, maka akan menghasilkan bilangan prima juga.

Pada tahun 1640, Matematikawan terkenal asal Prancis yaitu Pierre de Fermat menunjukkan bahwa pernyataan Cataldi salah untuk $n=23$ dan juga untuk $n=37$. Pernyataan Cataldi terus dikoreksi oleh matematikawan hingga sampai ke Euler pada tahun 1738. Euler juga menunjukkan bahwa untuk $n=29$, tidak akan menghasilkan bilangan prima. Artinya pernyataan Cataldi kembali salah. Beberapa waktu setelahnya, Euler membuktikan bahwa pernyataan Cataldi untuk $n=31$ benar, karena $2^{31}-1$ menghasilkan bilangan prima.

Marin Mersenne

Di sela-sela tahun tersebut, seorang biarawan sekaligus matematikawan asal Prancis yang bernama Marin Mersenne [1588 - 1648] menyatakan pada sebuah pengantar buku Cogitata Physica-Mathematica [1644]. Pernyataannya sebagai berikut:

The number $2^n-1$ were prime for:
$n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257$

dan akan menghasilkan bilangan bukan prima untuk bilangan bulat positif $n<257 $

Para matematikawan tahu dengan jelas bahwa Mersenne tidak menguji semua bilangan $n$ tersebut. Namun pada saat itu, tidak ada matematikawan yang mampu membuktikannya juga.

Beberapa abad kemudian barulah ada yang membuktikannya.

1. Tahun 1970, Euler membuktikan bahwa $2^{31}-1$ menghasilkan prima
2. Tahun 1876, Lucas membuktikan bahwa $2^{127}-1$ menghasilkan bilangan prima
3. Tahun 1823, Pervouchine membuktikan bahwa $2^{61}-1$ menghasilkan bilangan prima. $n=61$ tidak ada di list Mersenne, artinya Mersenne melewatkan ini.
4. Awal Abad 1900, Powers menunjukkan bahwa Mersenne juga melewatkan $n=89$ dan $107$, alias $2^{89}-1$ dan $2^{107}-1$ menghasilkan bilangan prima.

Hingga akhirnya pada tahun 1947, list $n=257$ sudah dibuktikan semuanya, dan hasil revisinya:

The number $2^n-1$ were Mersenne Prime for:
$n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127$

Maka lahirlah sebuah definisi baru tentang Mersenne Prime [Bilangan Prima Mersenne]. Mersenne Prime ini adalah bagian dari bilangan prima yang kita ketahui seperti $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \cdots $.
Sebagai contoh, $31$ termasuk Mersenne Prime karena bilangan tersebut dihasilkan oleh $n=5$ yang merupakan bilangan prima.
$$\begin{align*} M_n &= 2^p-1\\ M_n &= 2^5-1 \\ M_n &= 32-1\\ M_n &= 31 \end{align*}$$

---

Mersenne Prime dan Perfect Number

Pada awalnya matematikawan merasa Mersenne Prime hanya sebuah definisi saja, tidak ada kegunaannya dalam teori bilangan dan tidak berkaitan dengan materi yang lain. Namun jika kita lihat pada apa yang dicetuskan oleh Euclid yaitu Bilangan Sempurna atau Perfect Number. Saya juga pernah membahas mengenai Perfect Number disini.

Seperti yang diketahui bahwa Bilangan Sempurna [seterusnya akan saya sebut sebagai Perfect Number] adalah adalah bilangan bulat positif yang merupakan hasil dari jumlah faktor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri.

Contohnya adalah $6$. Faktor dari bilangan $6$ adalah $1, 2, 3, 6$. Jika kita jumlahkan faktor-faktornya kecuali bilangan $6$ itu sendiri adalah $1+2+3=6$. Ya! Menghasilkan $6$.

Daftar Perfect Number ada banyak, saya ambil $3$ Perfect Number yang awal yaitu $6, 28, 496$.

Coba amati proses di bawah ini:

$$\begin{align*} 6 &= 6\\ 6 &= \frac{12}{2}\\ 6 &= \frac{3 \times 4}{2}\\ 6 &= \frac{3 \times 3 +1}{2}\\ & \text{3 adalah himpunan dari Mersenne Prime, maka}\\ 6 &= \frac{M_p \times M_p+1}{2} \end{align*}$$ Yak, Perfect Number bisa kita dapatkan dari Mersenne Prime.

Ayo kita coba lagi, untuk $28$ sebagai Perfect Number dan $7$ sebagai Mersenne Prime.

$$\begin{align*} 28 &= 28\\ 28 &= \frac{56}{2}\\ 28 &= \frac{7 \times 8}{2}\\ 28 &= \frac{7 \times 7 +1}{2}\\ 28 &= \frac{M_p \times M_p+1}{2} \end{align*}$$
Terakhir, untuk Perfect Number $496$ dan Mersenne Prime $31$

$$\begin{align*} 496 &= 496\\ 496 &= \frac{992}{2}\\ 496 &= \frac{31 \times 32}{2}\\ 496 &= \frac{31 \times 31 +1}{2}\\ 496 &= \frac{M_p \times M_p+1}{2} \end{align*}$$
Akan lebih mudah mencari bilangan sempurna menggunakan Mersenne Prime dengan cara
$$P_n=\frac{M_p \times \left( M_p+1\right)}{2}$$

---

Pencarian Mersenne Prime

Bagi sebagian orang, matematika itu sulit nan menjengkelkan. Mereka mengatakan itu karena mereka belum mengenal matematika dengan baik. Ibarat kata, mereka hanya melihat dan menilai matematika dari pelajaran yang diperoleh dari sekolah saja. Padahal, banyak sekali keindahan matematika yang bahkan tidak pernah dibahas di sekolah.

Salah satunya ya mengenai Mersenne Prime ini.

Di zaman modern sejak internet melanda, pencarian akan suatu informasi sangat mudah dilakukan. Begitu juga dengan matematika, mencari Mersenne Prime dapat dilakukan dengan menjalankan internet saja!

Pernah mendengar GIMPS?

GIMPS adalah akronim dari Great Internet Mersenne Prime Search. Yaitu sebuah situs yang bisa diakses oleh semua orang yang ingin bergotong royong untuk menemukan Mersenne Prime.

Situs Mencari Mersenne Prime

GIMPS bisa kamu lakukan dengan cara membuka situs mersenne.org. Kamu bisa mengukir prestasi dengan membantu mencari Mersenne Prime berikutnya.

Mersenne Prime yang terakhir ditemukan pada tanggal 7 Desember 2017 oleh Patrick Laroche, yaitu $2^{82\ 589\ 933}-1$

. Itu adalah bilangan Mersenne yang ke $51$ [peringkat sementara].

Mereka sudah menguji hingga pangkat $2^{111\ 806\ 287}-1$

Luar Biasa!

Jika kamu menginginkan prestasi yang bisa diraih dengan cara "santai" di rumah saja, kamu bisa mencobanya di mersenne.org. Kalau kamu berhasil menemukan Mersenne Prime yang ke$-52$, kamu akan mendapatkan "kemuliaan". Namamu akan terpampang di setiap situs-situs matematika di luar negeri dan tentunya mendapatkan glorious!

---

Related Posts