SEGITIGA DENGAN LUAS DAN KELILING YANG SAMA - Kikiholmes

Daftar isi

• 1 Hero, Pahlawan Dari Alexandria
• 2 Rumus Luas Segitiga Heron
• 3 Heronian Triangle
• 4 Super-Heronian Triangles
• 5 Pembuktian Rumus

Beberapa waktu lalu, saya menonton video dari channel Youtube Numberphile. Mereka membahas tentang "Segitiga Pahlawan". Ya, artikel kali ini terinspirasi dari sana, dan saya tambahkan informasi-informasi lainnya agar semakin lengkap. Penjabaran rumus yang ada di video tersebut sangat singkat, sehingga versi "rumit"-nya saya jabarkan di sini.

Saya yakin kamu semua sudah tau dengan sebuah bangun yang bernama "segitiga". Ya, segitiga adalah suatu bangun datar yang terdiri dari tiga sisi dan tiga buah sudut. Diantaranya ialah segitiga sama sisi, sama kaki, segitiga sembarang dan segitiga siku siku. Dengan tiga titik yang letaknya tidak di satu garis lurus, maka bisa dibuat menjadi satu bangun datar.

Sejak zaman kuno, segitiga sudah dikenal bahkan sudah diterapkan di beberapa bangunan seperti Piramida, Pantheon, dan sebagainya. Salah satu tokoh yang berjasa mengenai segitiga adalah Hero.

Hero, Pahlawan Dari Alexandria

Hero of Alexandria adalah seorang matematikawan dan insiyur. Ia dianggap sebagai pelaku eksperimen terhebat pada masanya. Penemuan terhebatnya adalah kincir angin dan mesin uap. Ia menerbitkan penjelasan rinci tentang instrumen bertenaga uap tersebut yang disebut 'aeolipile,' yang juga dikenal sebagai "Hero's Engine". Beberapa idenya terinspirasi dari karya seorang penemu dan matematikawan Yunani yang bernama Ctesibius. Banyak dari desain dan tulisan asli Hero telah hilang. Namun, beberapa di antaranya dilestarikan dalam bentuk manuskrip.

Meskipun mesin penjual otomatis modern ditemukan pada tahun 1883 oleh Percival Everitt, Hero dikreditkan untuk pembuatan mesin penjual otomatis paling awal yang diketahui. Mesin penjual otomatisnya dibangun untuk melakukan tugas mengeluarkan air. Mesin itu memiliki slot untuk memasukkan koin. Setelah dimasukkan, koin akan jatuh di atas panci yang dipasang pada sebuah tuas. Berat koin akan memiringkan panci dan air terus mengalir hingga koin terguling dari panci.

Rumus Luas Segitiga Heron

Sebagai matematikawan, rumus yang terkenal hasil pemikirannya adalah rumus menentukan luas segitiga. Rumus tersebut disebut juga "Heron's Formula". Deskripsi rumus tersebut ditemukan di bukunya yang berjudul 'Metrica', jadi rumus tersebut dikreditkan kepadanya. Rumus ini sudah kamu pelajari di SMP, hanya saja mungkin kamu belum tahu siapa penemunya.

Beberapa segitiga memiliki kategori yang unik. Salah satunya adalah segitiga Hero. Pada umumnya orang menyebutnya sebagai Heronian Triangle.

Heronian Triangle

Misalkan sebuah segitiga dengan sisi $a$, $b$, dan $c$ dimana $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan bulat dan segitiga tersebut memiliki luas $A$ dimana $A$ juga merupakan bilangan bulat. Maka segitiga itu disebut Heronian Triangle. Tripel $a, b, c$ disebut Heronian Triple.

Segitiga Heronian [selanjutnya akan saya sebut sebagai Heronian Triangle], adalah segitiga biasa. Bisa berupa segitiga lancip, siku-siku, atau segitiga tumpul. Yang terpenting adalah panjang setiap sisi dan luasnya adalah bilangan bulat.

Namun, tentunya bukan sekedar biasa saja. Ada yang unik dari Heronian Triangle. Pada beberapa kasus, terdapat bentuk-bentuk segitiga dimana tidak hanya panjang sisi dan luasnya saja yang merupakan bilangan bulat, namun kelilingnya juga bilangan bulat [tentunya]. Dan yang lebih mindblowing lagi adalah luas segitiga yang sama dengan keliling segitiga. Jika ada yang memenuhi kasus tersebut, maka kita bisa menyebutnya Super-Heronian Triangle.

Super-Heronian Triangles

Eit, jangan asal tertawa. Segitiga dengan luas dan keliling yang sama [besaran dan satuan bisa diabaikan sementara] itu tidak banyak. Tercatat, hanya 5 saja segitiga yang memenuhi kriteria sebagai Super-heronian Triangle. Kelima segitiga tersebut masing-masing panjang sisinya sebagai berikut:

$\left(6, 25, 29\right)$
$\left(7, 15, 20\right)$
$\left(9, 10, 17\right)$
$\left(5, 12, 13\right)$
$\left(6, 8, 10\right)$

Dua segitiga terakhir merupakan segitiga siku-siku, sisanya segitiga sembarang.

Pembuktian Rumus

Pembuktiannya sebagai berikut.

Pertama kita amati kembali rumus luas segitiga dari Hero diatas, yaitu
$$L=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$$
dengan $a,b,c$ adalah sisi-sisi segitiga dan rumus $s$ adalah

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

Untuk mendapatkan keliling segitiga yaitu $K=a+b+c$, caranya:

$$ \begin{align*} s & =\frac{a+b+c}{2}\\ 2s & = a+b+c\\ 2s & = K \end{align*}$$

Syarat Super-Heronian Triangle adalah Keliling = Luas, maka

$$ \begin{align*} K &= L\\ 2s &= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\\ {2s}^2 &=s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\\ \frac{4s^2}{s} &=\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\\ 4s &=\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\\\\ \text{ Substitusi } s & =\frac{a+b+c}{2}\\\\ 4s &=\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\\ 4\left(\frac{a+b+c}{2}\right) & =\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\\\\ 2\left(a+b+c\right) & =\left(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2a}{2}\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2b}{2}\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2c}{2}\right)\\ 2\left(a+b+c\right) & =\left(\frac{-a+b+c}{2} \right)\left(\frac{a-b+c}{2} \right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\\ 2\left(a+b+c\right) & =\frac{1}{8}\left(-a+b+c \right)\left(a-b+c \right)\left(a+b-c\right)\\ 16\left(a+b+c\right) & = \left(-a+b+c \right)\left(a-b+c \right)\left(a+b-c\right)\\\\ \end{align*}$$

Sabar, masih belum selesai...

$$\begin{align*} \text{Misalkan }\\ x &= -a+b+c\\ y &= a-b+c \\ z &= a+b-c\\ \end{align*}$$ Jika kamu menjumlahkan $x$ dengan $y$, maka akan mendapatkan,
$\displaystyle c=\frac{x+y}{2}$

dengan cara yang sama terhadap $x+z$ dan $y+z$, diperoleh
$\displaystyle a=\frac{y+z}{2}$
$\displaystyle b=\frac{x+z}{2}$

Kita substitusikan nilai tersebut ke ruas kiri dari proses penurunan rumus yang panjang melelahkan tadi,
$$\begin{align*} & =16\left(a+b+c\right)\\ & =16\left(\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}\right)\\ &= 16\left(\frac{2x+2y+2z}{2}\right)\\ &= 16\left(\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\right)\\ &= 16\left(x+y+z\right) \end{align*}$$
Maka hasilnya menjadi,
$$\begin{align*} 16\left(a+b+c\right) & = \left(-a+b+c \right)\left(a-b+c \right)\left(a+b-c\right)\\ 16\left(x+y+z\right) & = xyz\\ \end{align*}$$
Perhatikan bahwa $x, y, z$ adalah bilangan bulat dan genap [karena bisa dibagi dua].
Maka, dapat ditulis:
$$\begin{align*} x &= 2X\\ y &= 2Y\\ z &= 2Z \end{align*}$$ sehingga persamaan diatas jika dilanjutkan,
$$\begin{align*} 16\left(x+y+z\right) & = xyz\\ 16\left(2X+2Y+2Z\right) & = 2X\cdot 2Y\cdot 2Z\\ 32\left(X+Y+Z\right) & = 8XYZ\\ 4\left(X+Y+Z\right) & = XYZ \end{align*}$$

Kita anggap $X\leq Y\leq Z$, maka:
$$\begin{align*} 4\left(X+Y+Z\right) & = XYZ\\ XYZ &=4\left(X+Y+Z\right)\\ XYZ &\leq 4\left(Z+Z+Z\right)\\ XYZ &\leq 4\cdot 3Z\\ XYZ &\leq 12Z \\ XY & \leq 12 \end{align*}$$
Kemudian,
$$\begin{align*} XY & \leq 12\\ XX & \leq 12\\ X^2 & \leq12\\ X & \leq 3 \end{align*}$$
Diperoleh $X \leq 3$.

Untuk $X=1$
$$\begin{align*} XYZ &=4\left(X+Y+Z\right)\\ 1YZ &= 4\left(1+Y+Z\right)\\ YZ &= 4+4Y+4Z\\ YZ-4Y-4Z+16 &= 4+16\\ \left(Y-4\right)\left(Z-4\right) &= 20\\ \\ \left(Y-4\right)=1\\ Y=5\\ \\ \left(Z-4\right)=20\\ Z=24 \end{align*}$$
Ingat, yang kita cari adalah $a, b, c$, maka harus disubstitusikan lagi. Sabar yea
$$\begin{align*} x &=2X\\ x &= 2\left(1\right)\\ x &= 2\\ \\ y &= 2Y\\ y &= 2\left(5\right)\\ y &= 10\\ \\ z &= 2Z\\ z &= 2\left(24\right)\\ z &= 48 \end{align*}$$
Sedikiit lagi

$$\begin{align*} a &=\frac{y+z}{2}\\ a &=\frac{10+48}{2}\\ a &= 29\\ \\ b &=\frac{x+z}{2}\\ b &=\frac{2+48}{2}\\ b &= 25\\ \\ c &=\frac{x+y}{2}\\ c &=\frac{2+10}{2}\\ c &=6 \end{align*}$$ dan diperolehlah panjang masing-masing sisi segitiga yaitu $6, 25, 29$.

Pembuktian diatas baru menjawab satu segitiga saja lho. Masih ada 4 segitiga lagi. Namun bisa kok kamu peroleh dengan cara yang sama seperti yang saya jabarkan tadi. Kamu tinggal mengotak atik dibagian sini saja
$\displaystyle \left(Y-4\right)\left(Z-4\right)= 20$.

Jika kamu membutuhkan penjabarannya, silakan tinggalkan komentar. Saya akan memberikan sisa perhitungannya.

Related Posts